Пусть ABC - исходный равносторонний треугольник. Обозначим за D,E,F центры квадратов, построенных на сторонах AB, BC, AC соответственно. Распишем площадь шестиугольника как сумму площадей треугольников, его составляющих: S=ADB+BEC+AFC+ABC. Первые 3 площади равны между собой. В построенных квадратах сторона также равна a, тогда диагональ равна a√2, а половина диагонали (в частности, AD и DB) a√2/2. Заметим, что угол ADB прямой, тогда площадь треугольника ADB равна 1/2*a√2/2*a√2/2=a²/4. Значит, суммарная площадь первых трёх треугольников равна 3a²/4. Площадь равностороннего треугольника со стороной a равна √3a²/4, тогда площадь шестиугольника равна a²/4+√3a²/4=(√3+1)a²/4.
Pаа₁b₁b = 2(b + c) = 24
Paa₁d₁d = 2(a + c) = 32
b + c = 12
a + c = 16
b = 12 - c
a = 16 - c
Sбок = Pосн · c = 2(a + b) · c = 2(16 - c + 12 - c) · c = 2c(28 - 2c)
Sбок = 56c - 4c²
Рассмотрим зависимость площади боковой поверхности от высоты как функцию:
f(c) = 56c - 4c²
Надо найти точку максимума этой функции.
Можно найти просто проанализировав функцию: квадратичная, график - парабола, ветвями вниз, точка максимума - абсцисса вершины параболы:
с₀ = - 56 / (- 8) = 7
Итак, при с = 7 см площадь боковой поверхности максимальная.
Вернемся к системе:
b = 12 - 7 = 5 см
a = 16 - 7 = 9 см
V = abc = 5 · 9 · 7 = 315 см³