Решить несложные по . ( 3 штуки). за большое кол-во пунктов. будьте добры. 1)дано: dabc - правильная пирамида. dh- высота, bm - медиана треугольника abc, угол dmh= 60 градусов, hk перпендикулярна dm. найти: v (dabc). 2) дано: abcda1b1c1d1 - правильная призма, =m, угол с1mc=45 градусов, ch перпендикулярна с1m. найти: v (abcda1b1c1d1) 3) дано: mabcd - правильная пирамида, am=8, mh - высота, угол mah = 60 градусов. 1)найти sбок. 2) найти v(mabcd) 3)найти угол между (amd) и (dmc)
1)
HK перпендикулярна DM
ΔКНМ - прямоугольный, угол <DMH= 60 градусов
НМ =НК / sin<DMH=√3/√3/2=2
DH- высота
ΔDНМ - прямоугольный, угол <DMH= 60 градусов
DH=HM*tg<DMH=2*tg60=2√3 <ВЫСОТА
DABC - правильная пирамида
основание - правильный треугольник ΔАВС -все стороны равны- все углы 60 град
BM - медиана треугольника ABC
HM=1/3*BM ;
BM=3*HM=3*2=6
стороны треугольника ABC АВ=ВС=СА=ВМ/sin60=6/(√3/2)=12 / √3
площадь основания So=1/2*BM*AC=1/2*6*12/√3=36/√3
V (DABC) = 1/3*DH*So=1/3*2√3 *36/√3=24
ОТВЕТ 24
2)
ABCDA1B1C1D1 - правильная призма <четырехугольная
в основании правильный многоугольник - квадрат
АС, BD - диагонали =M т.М -точка пересечения
< С1МС=45 ; <C1CM=90
треугольник ΔС1МС - прямоугольный , равнобедренный
CM=CC1 =СH/sin<C1MC=4√2 / sin45 = 8
CC1=h=8 -высота призмы
СМ=8 - половина диагонали основания
диагональ основания d=АС=BD=2*СМ=16
сторона основания b=d/√2 = 16/√2
площадь основания So=b^2 = (16/√2)^2=128
V (ABCDA1B1C1D1) = h*So = 8*128=1024
ОТВЕТ V=1024
3)
MABCD - правильная четырехугольная пирамида
боковое ребро пирамиды a=AM=BM=CM=DM=8
высота h=MH=AM*sinMAH=8*√3/2=4√3
в основании квадрат со стороной b
диагонали квадрата AC=BD=d
половина диагонали квадрата d/2 =AM*cosMAH=8*1/2=4 ;
тогда d= 8
сторона квадрата/основания b=d/√2 = 8/√2
площадь основания So=b^2=(8/√2)^2=32
объем V(MABCD) = 1/3*h*So=1/3*4√3*32=128√3 /3
апофема боковой грани
H^2 = a^2-(b/2)^2 =8^2 -(8/√2 /2)^2=56
H=2√14
Площадь ОДНОЙ боковой грани S1=1/2*H*b=1/2*2√14*8/√2=8√7
Sбок =4*S1 =4*8√7=32√7
боковые грани (AMD) и (DMC)- это РАВНЫЕ равнобедренные треугольники
опустим высоты CK, AK из вершин MCD,MAD -соответственно
линейный угол <CKA - это угол между (AMD) и (DMC)
в равных треугольниках соответствующие высоты равны CK = AK
площадь боковой грани (AMD) S1=1/2*AK*MD ; MD=AM=8
тогда AK= 2*S1/MD = 2*8√7 /8=2√7
т.к. CK = AK =2√7
треугольник АКС - равнобедренный
по теореме косинусов
АС^2 = AK^2+CK^2 - 2AK*CK*cos<CKA
cos<CKA = [ АС^2 - (AK^2+CK^2) ] / [- 2AK*CK] <подставим значения
cos<CKA = ( 8^2 - ((2√7)^2+(2√7)^2) ) / ((- 2)*2√7*2√7) =-1/7
<CKA = arccos (-1/7)= 1.714 рад =98.2 град =98 град
угол между (AMD) и (DMC) =98 град
Объем пирамиды находят по формуле:
V=1/3 h·S (основания)
S(основания)= площади равностороннего треугольника АВС.
Ни сторона, ни высота его пока не известны.
Центр правильной треугольной пирамиды - точка пересечения медиан. Этой точкой (Н) медианы делятся в отношении 2:1.
Значит, медиана АМ=3 НМ
Но медиана в правильном треугольнике в то же время и высота.
НМ=НК:(sin 60°)
НМ= √3: √3/2
НМ=2
АМ=2*3=6
Высота АМ тр-ка АВС=6
Сторона АВ =АМ:(sin 60°)
АВ=6:√3/2=12:√3=12√3:3=4√3
S АВС=АМ·АВ:2=1/2 ·6·4√3 =12√3
V=1/3 h·S
V=1/3 h·12√3
h=DH
DH=2 НK =2√3, т.к. в тр-ке HKD НК противолежит углу 30°
V=1/3 ·2√3·12√3=1/3·24·3=24