Решить : четырехугольник abcd вписан в окружность радиуса √159 прямые содержащие противолежащие стороны пересекаются в точках p и q расстояния от этих точек до центра окружности соответственно равно 15 и 17 найдите длину отрезка pq. заранее огромное .

Лемма. Если из точки P к окружности проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках A и B, а вторая в точках C и D, то
. Это легко следует из подобия по двум углам треугольников PBC и PDA.

Решение исходной задачи. Обозначим центр окружности О, P - точка пересечение лучей AB и DC, Q - точка пересечения лучей BC и AD, PO=15, QO=17, радиус . Пусть также М - точка пересечения окружностей описанных около треугольников BCP и DCQ. Тогда


Следовательно , т.е. точка М лежит на отрезке PQ.

Теперь если провести секущую из P через О, то по лемме получаем:
.
А также
Аналогично, если провести секущую из Q через О, то
.
А также
Таким образом, откуда PQ=14.