Расстояние от середины высоты правильной четырёхугольной пирамиды, у которой все рёбра равны, до бокового ребра пирамиды равно m. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Если угол при вершине боковых граней равен 30 градусов, то углы при основании их равны по 75 градусов.

Примем сторону основания за 1.

Тогда высота на боковое ребро h равна 1*cos(30°/2).

В этой задаче надо определить косинус половинного угла.

Для косинуса 15 градусов есть несколько вариантов.

Можно так: cos 15° = cos(60° - 45°).

Подставив данные, получим cos 15° = (√2 + √6)/4.

Можно так: cos 15° = √(1 + cos30°)/2 = √(1 + (√3/2))/2.

Подставив данные, получим cos 15° = (√(2 + √3))/2.

Можно и в таком варианте: cos 15° = (√3 + 1)/(2√2 ).

Угол между боковыми гранями равен плоскому углу между высотами к боковому ребру.

По формуле косинусов этот угол равен:

α = arc cos((h² - 1)/(2h²)).

Подставив данные, получаем α = 62,34790439 градусов.

Найдем другой угол параллелограмма зная, что сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180°:

180° -60° = 120°

Рассмотрим треугольники образованные боковыми сторонами и диагоналями.  

Треугольник со сторонами 12 и 20 см и углом между ними 60°: третья сторона d1 будет диагональю параллелограмма.

Используем теорему косинусов ("Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними"):

d1 = √(12²+20²-2*12*20*cos60°) = √(144+400-480*0.5) = √304=√(16*19)=4√19

Треугольник со сторонами 12 и 20 см и углом между ними 120°: третья сторона d2 будет диагональю параллелограмма.

d2 = √(12²+20²-2*12*20*cos120°) = √(144+400+480*0.5) = √784 = 28

Объяснение: