Радиус окружности, описанной около около квадрата, равен 272
(см. рис. 144). Найдите радиус окружности, вписанной в этот квад-
рат.
Рис. 144​

Пусть имеем пирамиду SАВС, АС = АВ = 8, Углы АВС и ВАС = 30°.
SК = SМ это высоты боковых граней. SД это высота и пирамиды и боковой грани ASB.

Высота СД основания равна: СД = 8*sin 30° = 8*(1/2) = 4.
Основание АВ равно: АВ = 2*8*cos 30° = 16*(√3/2) = 8√3.
Площадь основания So = (1/2)*(8√3)*4 = 16√3.
Находим высоты SК и SМ.
Проведём секущую плоскость через высоту пирамиды перпендикулярно боковому ребру основания.
Отрезок ДК = (8√3/2)*sin 30° = 4√3*(1/2) = 2√3.
Высота пирамиды SД = ДК*tg 30° = 2√3*(1/√3) = 2.
Высоты SК и SМ равны 2/(sin 30°) = 2/(1/2) = 4.
Тогда Sбок = 2*((1/2)*8*4) + (1/2)*(8√3)*2 = 32 + 8√3.
Полная поверхность равна:
S = So + Sбок = 16√3 + 32 + 8√3 = (32 + 24√3) кв.ед.

Правильная треугольная пирамида SABC
Двугранный угол ∠AKS = 60°
Апофема SK = 4 см

Высота SO правильной пирамиды опускается в центр окружности, вписанной в равносторонний ΔABC  ⇒  r = ОК
ΔSOK прямоугольный : ∠SOK = 90°
r = OK = SK*cos 60° = 4*1/2 = 2 см
h = SO = SK*sin 60° = 4*√3/2 = 2√3 см
Если в равносторонний ΔABC вписана окружность с радиусом r=2 см, то сторона треугольника 
a = CB = 2√3 r = 2√3 * 2 = 4√3 см
Площадь равностороннего треугольника
S = a²√3/4 = (4√3)²*√3/4 = 48*√3/4 = 12√3 см²

Объем пирамиды 
V = 1/3 S h = 1/3*12√3 *2√3 = 24 см³