Пусть точка M - середина ребра AB пирамиды ABCD, а точка N делит ребро AC в отношении 1:2, считая от вершины A. Докажите, что в плоскости грани BCD нет ни одной прямой, параллельной прямой MN.

В трапеции две стороны ( как правило. это основания) параллельны. Боковые стороны  трапеции при  ее параллельных основаниях являются секущими. 
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180º.
Поэтому сумма  углов, которые  прилежат к боковым (не параллельным)  сторонам трапеции.  равна 180º.
120°+80° >180°, следоваетльно, эти углы прилежат к разным боковым сторонам
Отсюда второй угол, прилежащий к одной стороне,  равен 
180°-120°=60°
Второй угол, прилежащий к другой стороне, равен 
180°-80°=100°
ответ: углы 60° и 120°, 80° и 100°

Основной школьный инструмент - транспортир.
На нем можно измерить углы в градусах с точностью до 1°.
Есть еще технические приборы - угломеры, они могут измерять с точностью до 2 минут.
Градус - это очень маленький угол, но он еще делится на 60' (минут),
а каждая минута - на 60" (секунд). То есть угол делится на 3600".
Кроме того, есть еще единица измерения углов - радиан.
180° = pi рад. Таким образом, 1 рад = 180°/pi ≈ 57° 17' 45".
Есть еще такие единицы - грады (метрический градус). 90° = 100 град. 
Град - это сотая доля прямого угла. Сейчас они мало где применяются. 
В основном в геодезии.