Прямая CD пересекает стороны угла BOA так, что точки B и D лежат на одной стороне угла, а точки A и C лежат на другой, причём CD//AB. Определите длину AC, если OA = 15, OD = 23 и OB = 12.
Угол АОВ-центральный угол, опирающийся на дугу АВ, значит его градусная мера равна градусной мере дуги АВ, а значит угол АОВ=60*.
Треугольник АОВ-равнобедренный (т.к. АО=ОВ-как радиусы одной окружности), следовательно угол ОАВ = углу ОВА=(180-60):2=60*, а следовательно треугольник АОВ является и равносторонним, значит АО=ОВ=АВ=10см.
Проведем радиусы АО и ОВ.
Угол АМВ - вписанный угол опирающийся на дугу АВ, значит угол АМВ=1/2 градусной меры дуги АВ, следовательно градусная мера дуги АВ=2*30=60*.
Угол АОВ-центральный угол, опирающийся на дугу АВ, значит его градусная мера равна градусной мере дуги АВ, а значит угол АОВ=60*.
Треугольник АОВ-равнобедренный (т.к. АО=ОВ-как радиусы одной окружности), следовательно угол ОАВ = углу ОВА=(180-60):2=60*, а следовательно треугольник АОВ является и равносторонним, значит АО=ОВ=АВ=10см.
ответ: АВ=10см.
1) Пусть хорды расположены по разные стороны от центра окружности О, тогда пусть AB=40 и CD=14
Пусть OM=x - расстаяние от центра до AB, тогда ON -расстояние до CD=39-x
Тогда из треугольника AOM :
(AO)^2=(AM)^2+MO^2
(AO)^2=400+x^2
и из треугольника CNO
(CO)^2=(CN)^2+(NO)^2
(CO)^2=49+(39-x)^2
так как CO=OA=R, то
400+x^2=49+(39-x)^2
78x-1170=0
78x=1170
x=15
то есть OM=15, тогда
(AO)^2=(AM)^2+MO^2 =400+225=625
AO=R=25
так как
S=pi*R^2=625*pi
2) Пусть хорды расположены по одну сторону от центра и пусть расстояние от центра до CD=x, тогда из треугольника OND
(OD)^2=(ON)^2+(ND)^2
(OD)^2=x^2+49
С другой стороны из треугольника OMB
(OB)^2=(OM)^2+(MB)^2
(OB)^2=(x-39)^2+400
то есть
x^2+49=(x-39)^2+400
18x-1872=0
78x=1872
x=24
то есть ON=24,тогда
(OD)^2=(ON)^2+(ND)^2 =>(OD)^2=576+49=625
OD=R=25
и
S=pi*R^2=625*pi