Прямая а принадлежит плоскости α, а точка F – плоскости β. Постройте пересечение а) прямой а с плоскостью β; б) плоскости β и плоскости, проходящей через прямую а и точку F
Теорема Чевы. Дан треугольник и точки на сторонах BC, AC и AB соответственно. Отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
Лемма. Если числа таковы, что то
,
лишь бы знаменатель в ноль не обращался.
Доказательство леммы. Оно элементарно. Кстати, те, кто в первый раз видит эту лемму, очень часто реагируют так: "Вы что же, числители и знаменатели складываете?! У нас в школе за это двойки ставят!" Впрочем, присмотревшись к утверждению и убедившись, что мы не собираемся таким образом дроби складывать, обычно все успокаиваются, особенно разобравшись в доказательстве.
Обозначим общее значение дробей и буквой Тогда
что и требовалось доказать.
Чтобы эта лемма стала совсем очевидной, хочется привести еще и то, что я иногда называю ПОКАЗАТЕЛЬСТВОМ, то есть рассуждение, не претендующее на роль строгого рассуждения, но приблизиться к "кухне математика". Итак, представьте две карты некой местности в разных масштабах, a - это расстояние между пунктами D и E, b - между E и F на одной карте, b и d - аналогичные расстояния на другой карте. В этом случае - это отношение масштабов карт. Ясно, что если мы сложим a и c, то получим длину маршрута от первого пункта через второй к третьему на первой карте, а сложив b и d - длину маршрута на второй карте. Понятно, что их отношение снова равно отношению масштабов карт.
Доказательство теоремы.
1. Пусть указанные отрезки пересекаются в точке , тогда треугольник оказывается разбит на 6 треугольников, занумерованных так, как указано на чертеже. Рассмотрим первую дробь Поскольку числитель и знаменатель этой дроби являются основаниями треугольников и с общей высотой, дробь не изменится, если заменить числитель и знаменатель на площади указанных треугольников. А заметив, что на тех же основаниях стоят треугольники и , можно заменить числитель и знаменатель и на их площади.
Поэтому
Воспользуемся теперь леммой: дроби не изменятся, если взять разность числителей и разность знаменателей:
Проведя аналогичное рассуждение для двух других дробей, получаем:
что и доказывает теорему Чевы в одну сторону.
2. Пусть не пересекаются в одной точке.Проведем через точку пересечения и отрезок (точка расположена на стороне ). По доказанному,
Если бы было выполнено
,
то
что невозможно при
(скажем, если точки на стороне расположены в порядке то числитель первой дроби больше числителя второй дроби, а знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй, значит, первая дробь больше второй).
На этом доказательство завершается.
Замечание. Нетрудно получить тригонометрическую форму теоремы Чевы. Воспользуемся для этого теоремой синусов:
Аналогично получаем
Отсюда получается новая формулировка теоремы Чевы.
Отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
Примеры.
1) Медианы пересекаются в одной точке, поскольку все три дроби в основной формулировке теоремы Чевы равны 1.
2) Биссектрисы пересекаются в одной точке. Здесь удобнее воспользоваться теоремой Чевы в тригонометрической форме.
3) Высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке. Опять легче воспользоваться тригонометрической формой.
1одну 2одну 3 часть прямой с двух сторон ограниченная точками 4часть прямой ограниченная с одной стороны точкой. Либо двумя большими буквами, либо одной маленькой 5два луча исходящие из одной точки. вершина их общее начало, сторона это сами лучи 6обе его стороны лежат на одной прямой 7имеют одинаковую форму и размеры 8 наложить один на другой, чтобы один конец совпал с другим 9 делит его пополам 10 наложить, чтобы одна сторона совмеситлась с другой, а остальные в одну сторону 11 делит угол пополам 12сложить их 13линейка 14сколько градусов он содержит 15сложить их 16меньше 90°, равен 90°, больше 90 но меньше 180° 17хз 18 имеют одну общую сторону,180 19 в точке пересечения образуются прямые углы 20 прямые могут пересечься только в одной точке 21экер,теодолит
на сторонах BC, AC и AB соответственно. Отрезки
Лемма. Если числа
то
лишь бы знаменатель в ноль не обращался.
Доказательство леммы. Оно элементарно. Кстати, те, кто в первый раз видит эту лемму, очень часто реагируют так: "Вы что же, числители и знаменатели складываете?! У нас в школе за это двойки ставят!" Впрочем, присмотревшись к утверждению и убедившись, что мы не собираемся таким образом дроби складывать, обычно все успокаиваются, особенно разобравшись в доказательстве.
Обозначим общее значение дробей
Тогда
что и требовалось доказать.
Чтобы эта лемма стала совсем очевидной, хочется привести еще и то, что я иногда называю ПОКАЗАТЕЛЬСТВОМ, то есть рассуждение, не претендующее на роль строгого рассуждения, но приблизиться к "кухне математика". Итак, представьте две карты некой местности в разных масштабах, a - это расстояние между пунктами D и E, b - между E и F на одной карте, b и d - аналогичные расстояния на другой карте. В этом случае
Доказательство теоремы.
1. Пусть указанные отрезки пересекаются в точке
Поскольку числитель и знаменатель этой дроби являются основаниями треугольников
Поэтому
Воспользуемся теперь леммой: дроби не изменятся, если взять разность числителей и разность знаменателей:
Проведя аналогичное рассуждение для двух других дробей, получаем:
что и доказывает теорему Чевы в одну сторону.
2. Пусть
По доказанному,
Если бы было выполнено
то
что невозможно при
(скажем, если точки на стороне
расположены в порядке
то числитель первой дроби больше числителя второй дроби, а знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй, значит, первая дробь больше второй).
На этом доказательство завершается.
Замечание. Нетрудно получить тригонометрическую форму теоремы Чевы.
Воспользуемся для этого теоремой синусов:
Аналогично получаем
Отсюда получается новая формулировка теоремы Чевы.
Отрезки
Примеры.
1) Медианы пересекаются в одной точке, поскольку все три дроби в основной формулировке теоремы Чевы равны 1.
2) Биссектрисы пересекаются в одной точке. Здесь удобнее воспользоваться теоремой Чевы в тригонометрической форме.
3) Высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке. Опять легче воспользоваться тригонометрической формой.
2одну
3 часть прямой с двух сторон ограниченная точками
4часть прямой ограниченная с одной стороны точкой. Либо двумя большими буквами, либо одной маленькой
5два луча исходящие из одной точки. вершина их общее начало, сторона это сами лучи
6обе его стороны лежат на одной прямой
7имеют одинаковую форму и размеры
8 наложить один на другой, чтобы один конец совпал с другим
9 делит его пополам
10 наложить, чтобы одна сторона совмеситлась с другой, а остальные в одну сторону
11 делит угол пополам
12сложить их
13линейка
14сколько градусов он содержит
15сложить их
16меньше 90°, равен 90°, больше 90 но меньше 180°
17хз
18 имеют одну общую сторону,180
19 в точке пересечения образуются прямые углы
20 прямые могут пересечься только в одной точке
21экер,теодолит