По формуле медианы М=1/2*√2a²+2b²-c² Подставим все медианы и обозначим стороны за x (медиана, опущенная на нее - 13) y(М=√601) z(М=2√61) Получим систему из трех уравнений 13=1/2√2y²+2z²-x² √601=1/2*√2z²+2x²-y² 2√61=1/2√2z²+2x²-z² Возведем в квадрат обе части каждого уравнеия, т.е. избавимся от корней 169=1/4(2y²+2z²-x²) 601=1/4(2z²+2x²-y²) 244=1/4*(2y²+2x²-z²) Приведем дроби к общему знаменателю - 4 и запишем все уравнения уже без знаменателей 2y²+2z²-x²²=676 2z²+2x²-y²=2404 2y²+2x²-z²=976 Выразим из первого x² x²=2y²+2z²-676 (1) и подставим во второе и третье уравнение 2z²+2(2y²+2z²-676)-y²=2404 2y²+2(2y²+2z²-676)-z²=976 После преобразования подобных слагаемых получим 2z²+y²=1252 2y²+z²=776 Домножим первое уравнение на (-2) и сложим оба уравнения -4z²-2y²=-2504 z²+2y²=776 (2)
Одна диагональ = х, другая = х+14. Зная, что площадь ромба = половине произведения его диагоналей, напишем: 240 = 1/2·х·(х + 14) 480 = х^2 +14x x^2 +14x - 480 =0 x = 16 x = -30 (не подходит) Одна диагональ = 16, другая = 30 ( х+14) Две диагонали делят ромб на 4 равных прямоугольных Δ, в которых катеты 8 и 15. Сторону ромба ищем по т. Пифагора. a^2 = 64 + 225 a^2 = 289 a = 17 (сторона ромба) Теперь ищем периметр. Р = 17·4 = 68(см)
М=1/2*√2a²+2b²-c²
Подставим все медианы и обозначим стороны за x (медиана, опущенная на нее - 13) y(М=√601) z(М=2√61) Получим систему из трех уравнений
13=1/2√2y²+2z²-x²
√601=1/2*√2z²+2x²-y²
2√61=1/2√2z²+2x²-z²
Возведем в квадрат обе части каждого уравнеия, т.е. избавимся от корней
169=1/4(2y²+2z²-x²)
601=1/4(2z²+2x²-y²)
244=1/4*(2y²+2x²-z²)
Приведем дроби к общему знаменателю - 4 и запишем все уравнения уже без знаменателей
2y²+2z²-x²²=676
2z²+2x²-y²=2404
2y²+2x²-z²=976
Выразим из первого x² x²=2y²+2z²-676 (1) и подставим во второе и третье уравнение
2z²+2(2y²+2z²-676)-y²=2404
2y²+2(2y²+2z²-676)-z²=976
После преобразования подобных слагаемых получим
2z²+y²=1252
2y²+z²=776
Домножим первое уравнение на (-2) и сложим оба уравнения
-4z²-2y²=-2504
z²+2y²=776 (2)
-3z²=-1728
z²=576
z=24
Подставим z² в (2)
275+2y²=776
2y²=200
y²=100
y=10
Подставим y² и z² в (1)
x²=2*100+2*576-676
x²=676
x=26
Т.е стороны треугольника 24, 10, 26
самое простое проверить теорему Пифагора
10²+24²=36²
100+576=676
Все ОК, т.е треугольник прямоугольный
480 = х^2 +14x
x^2 +14x - 480 =0
x = 16 x = -30 (не подходит) Одна диагональ = 16, другая = 30 ( х+14)
Две диагонали делят ромб на 4 равных прямоугольных Δ, в которых катеты 8 и 15. Сторону ромба ищем по т. Пифагора. a^2 = 64 + 225
a^2 = 289
a = 17 (сторона ромба)
Теперь ищем периметр. Р = 17·4 = 68(см)