Все, что курсивом - "теория", нужная для решения. В конце - само решение. Расстояние между скрещивающимися прямыми в общем случае находится так. Надо найти две параллельные плоскости, каждая из который содержит одну из прямых. Расстояние между этими плоскостями и будет искомым расстоянием. Плоскость A1DC1 содержит прямую DC1. Треугольник A1DC1 - равносторонний, что означает, что трехмерная фигура D1A1DC1 - правильная треугольная пирамида, и вершина D1 проектируется на основание A1DC1 в центр K правильного треугольника A1DC1, то есть D1K перпендикулярно плоскости A1DC1 (это - высота пирамиды). Кроме того, фигура BA1DC1 - тоже правильная треугольная пирамида (это - вообще правильный тетраэдр, все его ребра равны), и поэтому BK - высота этого тетраэдра к грани A1DC1, то есть BK перпендикулярно A1DC1. Через точку K можно провести только одну прямую, перпендикулярную плоскости A1DC1, и на этой прямой лежат точки B и D1. То есть, доказано, что плоскость A1DC1 перпендикулярна диагонали куба BD1. Точно также можно доказать, что BD1 перпендикулярно плоскости AB1C, и поэтому плоскости AB1C и A1DC1 параллельны. Но параллельность этих плоскостей и так очевидна, поскольку A1C1 II AC; A1D II B1C; и разумеется, AB1 II DC1; но для доказательства параллельности достаточно указать две пары параллельных прямых. Однако то, что обе эти плоскости перпендикулярны диагонали BD1 - важно. Если рассмотреть внимательнее тетраэдр BA1DC1, можно заметить, что плоскость AB1C пересекает "боковое ребро" BA1 в середине (диагонали квадрата A1B и AB1 делятся точкой пересечения пополам), поэтому сечение тетраэдра BA1DC1, параллельное грани тетраэдра A1DC1, - это такая "средняя плоскость", то есть она разделит пополам и остальные боковые ребра (BD и BC1, что можно увидеть и так) и, главное - высоту BK (по теореме Фалеса). Аналогично можно показать, что плоскость A1DC1 делит пополам высоту тетраэдра D1AB1C. Если обозначить K1 - центр треугольника AB1C, то получается D1K1 = KK1 = K1B; Все это - длинная теория, которую труднее набрать, чем понять. Поскольку KK1 - отрезок прямой BD1, перпендикулярной обеим плоскостям A1DC1 и AB1C, то это и есть расстояние между этими плоскостями, а заодно - и расстояние между скрещивающимися прямыми DC1 и CB1. Длина диагонали BD = 2√3, KK1 = 2√3/3;
Вписанный в правильную пирамиду шар касается основания пирамиды (в его центре и апофем пирамиды. То есть в сечении пирамиды по ее апофемам мы имеем равнобедренный треугольник со сторонами, равными апофкмам и основанием, равным стороне квадрата (основания). В этот треугольник вписана окружность (сечение шара). Есть формула радиуса вписанной в треугольник окружности: r=S/p, где S- площадь треугольника, а р - его полупериметр. Найдем высоту пирамиды по Пифагору: √(10²-6²)=8 (10 - апофема, 6 - половина стороны квадрата). Тогда площадь треугольника равна S=8*6=48. Тогда радиус вписанной в треугольник окружности равен r=S/p= 48/16 = 3. Это и есть радиус вписанного в пирамиду шара. Второй вариант: по формуле радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности: r=(b/2)*√[(2a-b)/(2a+b)]. В нашем случае: r=6*√(1/4) = 3. Объем шара находим по формуле: V=(4/3)*π*r³ =36π. ответ V = 36π.
Расстояние между скрещивающимися прямыми в общем случае находится так. Надо найти две параллельные плоскости, каждая из который содержит одну из прямых. Расстояние между этими плоскостями и будет искомым расстоянием.
Плоскость A1DC1 содержит прямую DC1. Треугольник A1DC1 - равносторонний, что означает, что трехмерная фигура D1A1DC1 - правильная треугольная пирамида, и вершина D1 проектируется на основание A1DC1 в центр K правильного треугольника A1DC1, то есть D1K перпендикулярно плоскости A1DC1 (это - высота пирамиды).
Кроме того, фигура BA1DC1 - тоже правильная треугольная пирамида (это - вообще правильный тетраэдр, все его ребра равны), и поэтому BK - высота этого тетраэдра к грани A1DC1, то есть BK перпендикулярно A1DC1.
Через точку K можно провести только одну прямую, перпендикулярную плоскости A1DC1, и на этой прямой лежат точки B и D1.
То есть, доказано, что плоскость A1DC1 перпендикулярна диагонали куба BD1.
Точно также можно доказать, что BD1 перпендикулярно плоскости AB1C, и поэтому плоскости AB1C и A1DC1 параллельны. Но параллельность этих плоскостей и так очевидна, поскольку A1C1 II AC; A1D II B1C; и разумеется, AB1 II DC1; но для доказательства параллельности достаточно указать две пары параллельных прямых. Однако то, что обе эти плоскости перпендикулярны диагонали BD1 - важно.
Если рассмотреть внимательнее тетраэдр BA1DC1, можно заметить, что плоскость AB1C пересекает "боковое ребро" BA1 в середине (диагонали квадрата A1B и AB1 делятся точкой пересечения пополам), поэтому сечение тетраэдра BA1DC1, параллельное грани тетраэдра A1DC1, - это такая "средняя плоскость", то есть она разделит пополам и остальные боковые ребра (BD и BC1, что можно увидеть и так) и, главное - высоту BK (по теореме Фалеса).
Аналогично можно показать, что плоскость A1DC1 делит пополам высоту тетраэдра D1AB1C. Если обозначить K1 - центр треугольника AB1C, то получается D1K1 = KK1 = K1B;
Все это - длинная теория, которую труднее набрать, чем понять.
Поскольку KK1 - отрезок прямой BD1, перпендикулярной обеим плоскостям A1DC1 и AB1C, то это и есть расстояние между этими плоскостями, а заодно - и расстояние между скрещивающимися прямыми DC1 и CB1.
Длина диагонали BD = 2√3, KK1 = 2√3/3;
Есть формула радиуса вписанной в треугольник окружности: r=S/p, где S- площадь треугольника, а р - его полупериметр.
Найдем высоту пирамиды по Пифагору: √(10²-6²)=8 (10 - апофема, 6 - половина стороны квадрата). Тогда площадь треугольника равна S=8*6=48. Тогда радиус вписанной в треугольник окружности равен r=S/p= 48/16 = 3. Это и есть радиус вписанного в пирамиду шара.
Второй вариант: по формуле радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности: r=(b/2)*√[(2a-b)/(2a+b)].
В нашем случае: r=6*√(1/4) = 3.
Объем шара находим по формуле: V=(4/3)*π*r³ =36π.
ответ V = 36π.