Пусть сторона квадрата АВСD равна х По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВМ: АМ²=МВ²+АВ² АМ²=8²+х² По теореме о трех перпендикулярах АМ⊥AD. Площадь треугольника АМD равна половине произведения катетов AM·AD/2=30 AM·AD=60 x·√(64+x²)=60 Возводим в квадрат и решаем биквадратное уравнение х²·(64+х²)=3600 (х²)²+64х²-3600=0 D=64²+4·3600=4096+14400=18496=136² x²=(-64+136)/2=36 второй корень отрицательный х=6 или х=-6 ( не удовлетворяет условию задачи) ответ. Сторона квадрата ABCD 6, площадь квадрата АВСD 36.
Если провести через точку A прямую параллельно BC, то она пересечет BD в точке K таким образом, что AK = AB. Это потому, что ∠AKB = ∠DBC; это - внутренние накрест лежащие углы; а ∠DBC = ∠ABD; так как BD - биссектриса получилось, что треугольник AKB - равнобедренный. Теперь понятно, что для того, чтобы прямая AD пересекла BС в точке C за точкой D, то есть чтобы существовал треугольник ABC, нужно, чтобы точка D лежала ближе к B, чем K. Отсюда ∠ADB > ∠AKB = ∠ABD; и AB > AD; так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВМ:
АМ²=МВ²+АВ²
АМ²=8²+х²
По теореме о трех перпендикулярах АМ⊥AD.
Площадь треугольника АМD равна половине произведения катетов
AM·AD/2=30
AM·AD=60
x·√(64+x²)=60
Возводим в квадрат и решаем биквадратное уравнение
х²·(64+х²)=3600
(х²)²+64х²-3600=0
D=64²+4·3600=4096+14400=18496=136²
x²=(-64+136)/2=36 второй корень отрицательный
х=6 или х=-6 ( не удовлетворяет условию задачи)
ответ. Сторона квадрата ABCD 6, площадь квадрата АВСD 36.
∠AKB = ∠DBC; это - внутренние накрест лежащие углы; а
∠DBC = ∠ABD; так как BD - биссектриса
получилось, что треугольник AKB - равнобедренный.
Теперь понятно, что для того, чтобы прямая AD пересекла BС в точке C за точкой D, то есть чтобы существовал треугольник ABC, нужно, чтобы точка D лежала ближе к B, чем K.
Отсюда ∠ADB > ∠AKB = ∠ABD; и AB > AD; так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.