В решении задачи пригодится
1)Теорема о трех перпендикулярах.
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна этой наклонной.
2) Теорема Пифагора.
Решение.
Основание АВСD пирамиды SАBСD- прямоугольник.
Наклонные SB и SD имеют проекции ВС и CD
Прямая ВА перпендикулярна проекции ВС наклонной SB.
АВ перпендкулярна SB.
Прямая АD перпендикулярна проекции СD наклонной SD.АD перпендикулярна SD
Углы SDА и SВА - прямые.
Следовательно, Δ SDА и ΔSВА - прямоугольные.
SС перпендикулярна плоскости основания, ⇒ перпендикулярна ВС и СD.Δ SСB и ΔSСD - прямоугольные.
Все грани пирамиды пирамиды SАBСD - прямоугольные треугольники.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Катеты треугольников SСB и SСD даны в условии задачи. Это SС и СB в треугольнике SСB,Это SС и СD в треугольнике SСD.
Катеты треугольника SВА - сторона ВС основания и гипотенуза SВ треугольника SСB
Катеты треугольника SDА - сторона СD основания и гипотенуза SD треугольника SСD.
Найдем SВ и SD по теореме Пифагора.SD =√(СD² +SС²)=√(9²+12²)=15 смSВ =√(SС²+ВС²)=√(16²+12²)=20 см
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней пирамиды. Площадь Δ SCВ =СS·BC:2=12·16:2
-"-"-"-"-"-"- Δ SВА=SВ·ВА:2=20·9:2
-"-"-"-"-"-"- Δ SDА=SD·DА:2=15·16:2
-"-"-"-"-"-"- Δ SСD=SC·СD:2=12·9:2
S боковая=(12·16+20·9+15·16+12·9):2
S боковая=(192+ 180+ 240+108):2=360 см²
Пусть АВ=ВС= CD = AD = x, a SM = у — апофема.
Тогда по теореме Пифагора в ∆SMC;
SC2 =SM2 + MC2,
5^2=y^2+x^2/4
то есть х2 + 4у2 = 100.
Полная поверхность равна S = Sосн + Sбок , где Sосн — площадь
квадрата,
Sбок=1/2*P*h
то есть Sосн = х2 и
где P — периметр основания и h — апофема, так что Sбок = 2ху.
Так что х2 + 2ху = 16. Имеем:
x^2+4y^2=100
x^2+2xy=16
y=16-x^2/2x
x^2+4(16-x^2/2x)^2=100 то есть
x4 - 100х2 + (16-х2)2 = 0
х4 - 66х2 + 128 = 0. Пусть х2 = а, тогда
а2 - 66а + 128 =0, а =2 или а = 64. Тогда х = √2 или x = 8.
Но при х = 8 площадь основания больше полной.
Так что х= √2 .
ответ: √2 см.
Объяснение:
В решении задачи пригодится
1)Теорема о трех перпендикулярах.
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна этой наклонной.
2) Теорема Пифагора.
Решение.
Основание АВСD пирамиды SАBСD- прямоугольник.
Наклонные SB и SD имеют проекции ВС и CD
Прямая ВА перпендикулярна проекции ВС наклонной SB.
АВ перпендкулярна SB.
Прямая АD перпендикулярна проекции СD наклонной SD.
АD перпендикулярна SD
Углы SDА и SВА - прямые.
Следовательно, Δ SDА и ΔSВА - прямоугольные.
SС перпендикулярна плоскости основания, ⇒ перпендикулярна ВС и СD.
Δ SСB и ΔSСD - прямоугольные.
Все грани пирамиды пирамиды SАBСD - прямоугольные треугольники.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Катеты треугольников SСB и SСD даны в условии задачи.
Это SС и СB в треугольнике SСB,
Это SС и СD в треугольнике SСD.
Катеты треугольника SВА - сторона ВС основания и
гипотенуза SВ треугольника SСB
Катеты треугольника SDА - сторона СD основания и
гипотенуза SD треугольника SСD.
Найдем SВ и SD по теореме Пифагора.
SD =√(СD² +SС²)=√(9²+12²)=15 см
SВ =√(SС²+ВС²)=√(16²+12²)=20 см
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней пирамиды.
Площадь Δ SCВ =СS·BC:2=12·16:2
-"-"-"-"-"-"- Δ SВА=SВ·ВА:2=20·9:2
-"-"-"-"-"-"- Δ SDА=SD·DА:2=15·16:2
-"-"-"-"-"-"- Δ SСD=SC·СD:2=12·9:2
S боковая=(12·16+20·9+15·16+12·9):2
S боковая=(192+ 180+ 240+108):2=360 см²
Пусть АВ=ВС= CD = AD = x, a SM = у — апофема.
Тогда по теореме Пифагора в ∆SMC;
SC2 =SM2 + MC2,
5^2=y^2+x^2/4
то есть х2 + 4у2 = 100.
Полная поверхность равна S = Sосн + Sбок , где Sосн — площадь
квадрата,
Sбок=1/2*P*h
то есть Sосн = х2 и
где P — периметр основания и h — апофема, так что Sбок = 2ху.
Так что х2 + 2ху = 16. Имеем:
x^2+4y^2=100
x^2+2xy=16
y=16-x^2/2x
x^2+4(16-x^2/2x)^2=100 то есть
x4 - 100х2 + (16-х2)2 = 0
х4 - 66х2 + 128 = 0. Пусть х2 = а, тогда
а2 - 66а + 128 =0, а =2 или а = 64. Тогда х = √2 или x = 8.
Но при х = 8 площадь основания больше полной.
Так что х= √2 .
ответ: √2 см.
Объяснение: