Пусть угол при основании равен α; боковая сторона b; основание a; ну и R = 25; r =12; тогда b*sin(α) = a/2; b*cos(α) = h; (высота к основанию); S = a*h/2 = b^2*sin(α)*cos(α); при этом полупериметр p = b + a/2 = b*(1 + cos(α)); S = p*r; b^2*sin(α)*cos(α) = b*(1 + cos(α))*r; по теореме синусов b = 2*R*sin(α); 2*R*(sin(α))^2*cos(α) = r*(1 + cos(α)); 2*R*(1 - (cos(α))^2)*cos(α) = r*(1 + cos(α)); 2*(1 - cos(α))*cos(α) = r/R; вот это квадратное уравнение относительно cos(α); Пусть cos(α) = x; x^2 - x + r/(2R) = 0; x = 1/2 +- √(1/4 - r/(2R)); это в сущности ответ. Интересно, что получилось 2 решения, и оба "физически" возможны. При r/(2R) = 12/50; возможны 2 случая 1. cos(α) = 3/5; тогда sin(α) = 4/5; b = 50*4/5 = 40; a = 2*b*cos(α) = 80*3/5 = 48; в этом случае треугольник составлен из двух египетских (24, 32, 40) 2. cos(α) = 2/5; тогда sin(α) = √21/5; b = 50*√21/5 = 10√21; a = 2*b*cos(α) = 8√21;
Я не нашел "школьного" решения, но уж то, что нашел, приведу. Пусть начало координат расположено в середине АС, и ось Z проходит через точку S, а ось Y - через точки С и А. Положение точки В составляет суть задачи. Я полагаю координаты точки С(0,-a, 0), где а - неизвестная величина (половина длины стороны основания). Ясно, что sin(α/2) = a/b; где α – искомый угол ASC; то есть найдя а, найдется и α; Тогда координаты А (0,а,0) S(0,0,√(b^2 - a^2)) Для начала надо составить уравнения сфер, на которых заведомо лежит точка В. Сфера, касающаяся плоскости SAC, то есть плоскости x = 0; имеет радиус b/2; центр лежит на перпендикуляре из точки С к плоскости x = 0; то есть на прямой II оси X. Уже можно записать формулу (x - b/2)^2 + (y + a)^2 + z^2 = (b/2)^2; Вторая сфера, на которой заведомо лежит точка В - это сфера с центром в точке С и радиусом в 2*а. На этой же сфере лежит точка А. Это утверждение означает всего лишь то, что расстояние от В до С равно 2*а, что совершенно очевидно, поскольку в основании пирамиды правильный треугольник. x^2 + (y + a)^2 + z^2 = (2*a)^2; Аналогичное условие можно было бы записать и для точки А, уравнение отличалось бы знаком в слагаемом с y: (y - a) вместо (y + a); Но есть очевидное условие, которое это делает ненужным. Но сначала - третья сфера, уравнение которой просто означает, что расстояние от В до S равно b; x^2 + y^2 + (z - √(b^2 - a^2))^2 = b^2; У нас есть 3 уравнения, которые надо решать совместно. Первое, и самое сильное упрощение состоит в том, что заведомо y = 0; Совершенно очевидно, что точка В должна лежать на плоскости XZ, поскольку она равноудалена от точек А и С. Поэтому уравнения упрощаются (x - b/2)^2 + a^2 + z^2 = (b/2)^2; x^2 + a^2 + z^2 = (2*a)^2; x^2 + (z - √(b^2 - a^2))^2 = b^2; если немного преобразовать, получается x^2 –b*x + (b/2)^2 + a^2 + z^2 = (b/2)^2; или x^2 + z^2 = b*x – a^2; x^2 + z^2 = 3*a^2; x^2 + z^2 – 2*z*√(b^2 - a^2) + b^2 – a^2 = b^2; или x^2 + z^2 = 2*z*√(b^2 - a^2) + a^2 И теперь уже совсем просто – сначала x и z легко выражаются через a; x = 4*a^2/b; z = a^2/√(b^2 - a^2) остается подставить это во второе соотношение x^2 + z^2 = 3*a^2; (4*a^2/b)^2 + a^4/(b^2 – a^2) = 3*a^2; или 16*(a/b)^2 + (a/b)^2/(1 – (a/b)^2) = 3; с учетом sin(α/2) = a/b; получается 16*(sin(α/2))^2 + (sin(α/2))^2/(cos(α/2))^2 = 3; Осталось заметить, что квадраты синуса и косинуса половинных углов выражаются через косинус полного (sin(α/2))^2 = (1 – cos(α))/2; (cos(α/2))^2 = (1 + cos(α))/2; Что приводит к окончательному уравнению 4*x^2 + 2*x – 3 = 0; где x = cos(α); x = (√13 – 1)/4; ответ α = arccos((√13 – 1)/4);
b*sin(α) = a/2; b*cos(α) = h; (высота к основанию); S = a*h/2 = b^2*sin(α)*cos(α);
при этом полупериметр p = b + a/2 = b*(1 + cos(α)); S = p*r;
b^2*sin(α)*cos(α) = b*(1 + cos(α))*r;
по теореме синусов b = 2*R*sin(α);
2*R*(sin(α))^2*cos(α) = r*(1 + cos(α));
2*R*(1 - (cos(α))^2)*cos(α) = r*(1 + cos(α));
2*(1 - cos(α))*cos(α) = r/R; вот это квадратное уравнение относительно cos(α);
Пусть cos(α) = x;
x^2 - x + r/(2R) = 0;
x = 1/2 +- √(1/4 - r/(2R));
это в сущности ответ. Интересно, что получилось 2 решения, и оба "физически" возможны. При r/(2R) = 12/50; возможны 2 случая
1. cos(α) = 3/5; тогда sin(α) = 4/5; b = 50*4/5 = 40; a = 2*b*cos(α) = 80*3/5 = 48;
в этом случае треугольник составлен из двух египетских (24, 32, 40)
2. cos(α) = 2/5; тогда sin(α) = √21/5; b = 50*√21/5 = 10√21; a = 2*b*cos(α) = 8√21;
Пусть начало координат расположено в середине АС, и ось Z проходит через точку S, а ось Y - через точки С и А. Положение точки В составляет суть задачи.
Я полагаю координаты точки С(0,-a, 0), где а - неизвестная величина (половина длины стороны основания). Ясно, что sin(α/2) = a/b; где α – искомый угол ASC; то есть найдя а, найдется и α; Тогда координаты А (0,а,0) S(0,0,√(b^2 - a^2))
Для начала надо составить уравнения сфер, на которых заведомо лежит точка В.
Сфера, касающаяся плоскости SAC, то есть плоскости x = 0; имеет радиус b/2; центр лежит на перпендикуляре из точки С к плоскости x = 0; то есть на прямой II оси X. Уже можно записать формулу
(x - b/2)^2 + (y + a)^2 + z^2 = (b/2)^2;
Вторая сфера, на которой заведомо лежит точка В - это сфера с центром в точке С и радиусом в 2*а. На этой же сфере лежит точка А. Это утверждение означает всего лишь то, что расстояние от В до С равно 2*а, что совершенно очевидно, поскольку в основании пирамиды правильный треугольник.
x^2 + (y + a)^2 + z^2 = (2*a)^2;
Аналогичное условие можно было бы записать и для точки А, уравнение отличалось бы знаком в слагаемом с y: (y - a) вместо (y + a); Но есть очевидное условие, которое это делает ненужным. Но сначала - третья сфера, уравнение которой просто означает, что расстояние от В до S равно b;
x^2 + y^2 + (z - √(b^2 - a^2))^2 = b^2;
У нас есть 3 уравнения, которые надо решать совместно. Первое, и самое сильное упрощение состоит в том, что заведомо y = 0; Совершенно очевидно, что точка В должна лежать на плоскости XZ, поскольку она равноудалена от точек А и С. Поэтому уравнения упрощаются
(x - b/2)^2 + a^2 + z^2 = (b/2)^2;
x^2 + a^2 + z^2 = (2*a)^2;
x^2 + (z - √(b^2 - a^2))^2 = b^2;
если немного преобразовать, получается
x^2 –b*x + (b/2)^2 + a^2 + z^2 = (b/2)^2; или x^2 + z^2 = b*x – a^2;
x^2 + z^2 = 3*a^2;
x^2 + z^2 – 2*z*√(b^2 - a^2) + b^2 – a^2 = b^2; или x^2 + z^2 = 2*z*√(b^2 - a^2) + a^2
И теперь уже совсем просто – сначала x и z легко выражаются через a;
x = 4*a^2/b; z = a^2/√(b^2 - a^2)
остается подставить это во второе соотношение x^2 + z^2 = 3*a^2;
(4*a^2/b)^2 + a^4/(b^2 – a^2) = 3*a^2; или 16*(a/b)^2 + (a/b)^2/(1 – (a/b)^2) = 3;
с учетом sin(α/2) = a/b; получается
16*(sin(α/2))^2 + (sin(α/2))^2/(cos(α/2))^2 = 3;
Осталось заметить, что квадраты синуса и косинуса половинных углов выражаются через косинус полного (sin(α/2))^2 = (1 – cos(α))/2; (cos(α/2))^2 = (1 + cos(α))/2;
Что приводит к окончательному уравнению
4*x^2 + 2*x – 3 = 0; где x = cos(α); x = (√13 – 1)/4;
ответ α = arccos((√13 – 1)/4);