Дан правильный тетраэдр ABCD, ребро которого равно а, DO-высота тетраэдра, М-середина DO.
Высота DO равна а√2/√3 (это свойство правильного тетраэдра). Точка О делит высоту АЕ основания в отношении 2:1 от вершины. АЕ = а*cos 30° = a√3/2. Тогда отрезки АО и ОЕ равны: АО = (2/3)*(a√3/2) = a√3/3, ОЕ = (1/3)*(а√3/2) = а√3/6. Примем длину МО = х. Из подобных треугольников AMO и AFE составляем пропорцию: х/АО = EF/AF. Так как EF = OE, а AF = DO, то пропорция примет вид: х/(а√3/3) = (а√3/6)/(а√2/√3). Отсюда значение х равно: х = (а√3)/(6√2) = (а√6)/12 = (а√2)/(4√3) = OD/4. Получаем ответ на вопрос - г) в каком отношении плоскость сечения делит высоту тетраэдра AF,считая от А? ответ: DM:MO = 3:1.
Сечение через точку М, параллельное плоскости ВСD, пересекает АЕ в точке Т, которая делит ОЕ пополам. Тогда АТ = (5/6)АЕ и треугольник в полученном сечении имеет коэффициент подобия к треугольнику ВСД, равный 5/6.
Площадь подобного треугольника NКР в сечении равна площади ВСД, умноженной на квадрат коэффициента подобия. S(BCD) = (1/2)BC*DE = (1/2)a*(a√3/2) = a²√3/4. S(NKP) = (a²√3/4)*(25/36) = a²*25√3/144.
Задачки на теорему Пифагора, в довольно странной форме. Если говорят, что лестница в пяти метрах от стены - то обычно это означает, что любая часть лестницы находится в пяти метрах от стены Дальше везде обозначаем длину лестницы - L расстояние, на которое отнесён них лестницы от стены - а и высота, на которой верх лестницы касается стены - h a) L = 13 м a = 5 м h - ? L² = a² + h² h² = L² - a² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144 h = √144 = 12 м б) a = 5 м h = 10 м L - ? L² = a² + h² = 5² + 10² = 25 + 100 = 125 L = √125 = 5√5 м в) L = 15 м h = 12 м a - ? L² = a² + h² a² = L² - h² = 15² - 12² = 225 - 144 = 81 a = √81 = 9 м
Высота DO равна а√2/√3 (это свойство правильного тетраэдра).
Точка О делит высоту АЕ основания в отношении 2:1 от вершины.
АЕ = а*cos 30° = a√3/2.
Тогда отрезки АО и ОЕ равны:
АО = (2/3)*(a√3/2) = a√3/3, ОЕ = (1/3)*(а√3/2) = а√3/6.
Примем длину МО = х.
Из подобных треугольников AMO и AFE составляем пропорцию:
х/АО = EF/AF.
Так как EF = OE, а AF = DO, то пропорция примет вид:
х/(а√3/3) = (а√3/6)/(а√2/√3).
Отсюда значение х равно:
х = (а√3)/(6√2) = (а√6)/12 = (а√2)/(4√3) = OD/4.
Получаем ответ на вопрос - г) в каком отношении плоскость сечения делит высоту тетраэдра AF,считая от А?
ответ: DM:MO = 3:1.
Сечение через точку М, параллельное плоскости ВСD, пересекает АЕ в точке Т, которая делит ОЕ пополам.
Тогда АТ = (5/6)АЕ и треугольник в полученном сечении имеет коэффициент подобия к треугольнику ВСД, равный 5/6.
Площадь подобного треугольника NКР в сечении равна площади ВСД, умноженной на квадрат коэффициента подобия.
S(BCD) = (1/2)BC*DE = (1/2)a*(a√3/2) = a²√3/4.
S(NKP) = (a²√3/4)*(25/36) = a²*25√3/144.
Периметр NКР равен (5/6)*3а = 5а/2.
Дальше везде обозначаем длину лестницы - L
расстояние, на которое отнесён них лестницы от стены - а
и высота, на которой верх лестницы касается стены - h
a)
L = 13 м
a = 5 м
h - ?
L² = a² + h²
h² = L² - a² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144
h = √144 = 12 м
б)
a = 5 м
h = 10 м
L - ?
L² = a² + h² = 5² + 10² = 25 + 100 = 125
L = √125 = 5√5 м
в)
L = 15 м
h = 12 м
a - ?
L² = a² + h²
a² = L² - h² = 15² - 12² = 225 - 144 = 81
a = √81 = 9 м