1) В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведем к гипотенузе AB отрезок CO так, чтобы CO=OA.
2) ∆ AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению равнобедренного треугольника).
Значит, у него углы при основании равны:∠OAC=∠OCA=α.
3) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то в треугольнике ABC ∠B=90º- α.
4) Так как ∠BCA=90º (по условию), то ∠BCO=90º- ∠OCA=90º-α.
5) Рассмотрим треугольник BOC.
∠BCO=90º-α, ∠B=90º- α, следовательно, ∠BCO=∠B.
Значит, треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (по признаку равнобедренного треугольника).
Отсюда BO=CO.
6) Так как CO=OA (по построению) и BO=CO (по доказанному), то CO=OA=BO, AB=OA+BO=2∙OA=2∙CO.
Таким образом, точка O — середина гипотенузы AB, отрезок CO соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, значит, CO — медиана, проведенная к гипотенузе, и она равна половине гипотенузы
★☆★ Чертёж смотрите во вложении ★☆★
Дано:
Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О.
Точка О — серединная точка для отрезков АМ и ВК (ОА = ОМ ; ОВ = ОК).
Доказать:
АВ║МК.
Доказательство:
ⵈ◊ⵈ Для седьмого класса ⵈ◊ⵈ
Соединим точки А и В отрезком АВ ; точки В и М отрезком ВМ ; точки К и М отрезком КМ ; точки А и К отрезком АК.
Рассмотрим ΔАОВ и ΔМОК.
ОА = ОМ (по условию).
ОВ = ОК (по условию).
∠АОВ = ∠МОК (как вертикальные).
Следовательно, ΔАОВ = ΔМОК по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
▸В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы◂
ОВ = ОК.
Следовательно, ∠ВАО = ∠ОМК.
Рассмотрим прямые АВ и МК при секущей АМ.
▸Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны◂
Накрест лежащие ∠ВАО = ∠ОМК (по выше доказанному), следовательно, АВ║МК (по выше сказанному).
ⵈ◊ⵈ Для восьмого класса ⵈ◊ⵈ
Соединим точки А и В отрезком АВ ; точки В и М отрезком ВМ ; точки К и М отрезком КМ ; точки А и К отрезком АК.
Рассмотрим получившиеся выпуклый четырёхугольник АКМВ.
АМ и ВК — диагонали.
▸Если диагонали выпуклого четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм◂
ОА = ОМ (по условию).
ОВ = ОК (по условию).
Следовательно, четырёхугольник АКМВ — параллелограмм.
▸Параллелограмм — четырёхугольник, противоположные стороны которого параллельны ◂
Поэтому, по выше сказанному —
АВ║МК ; АК║ВМ
Объяснение:
1) В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведем к гипотенузе AB отрезок CO так, чтобы CO=OA.
2) ∆ AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению равнобедренного треугольника).
Значит, у него углы при основании равны:∠OAC=∠OCA=α.
3) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то в треугольнике ABC ∠B=90º- α.
4) Так как ∠BCA=90º (по условию), то ∠BCO=90º- ∠OCA=90º-α.
5) Рассмотрим треугольник BOC.
∠BCO=90º-α, ∠B=90º- α, следовательно, ∠BCO=∠B.
Значит, треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (по признаку равнобедренного треугольника).
Отсюда BO=CO.
6) Так как CO=OA (по построению) и BO=CO (по доказанному), то CO=OA=BO, AB=OA+BO=2∙OA=2∙CO.
Таким образом, точка O — середина гипотенузы AB, отрезок CO соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, значит, CO — медиана, проведенная к гипотенузе, и она равна половине гипотенузы