Поскольку у параллелограмма АВСД противоположные стороны параллельны и равны, противоположные углы равны, значит АД=ВС и АД║ВС АВ=СД и АВ║СД ∠А=∠С ∠В=∠Д
Рассмотрим треугольники АМД и ВСК. АМ=СК - это дано по условию задания. АД=ВС - это мы выяснили выше ∠А=∠С - это мы выяснили выше А эти равности дают нам право утверждать, что треугольник АМД=треугольнику ВСК. А это означает, что МД=ВК. Также из равности треугольников можно утверждать, что ∠АМД=∠СКВ. ∠МДА=∠КВС.
Сумма мер двух смежных углов равна 180°, значит ∠ВМД+∠АМД=180°, отсюда ∠ВМД=180° - ∠АМД ∠ДКБ+∠СКВ=180°, отсюда ∠ДКБ=180° - ∠СКВ
Поскольку ∠АМД=∠СКВ, а значит ∠ВМД=∠ДКБ
Поскольку ∠МДА=∠КВС и ∠АВС=∠АДС, тогда ∠АВК=∠СДМ, так как ∠АВС=∠АВК+∠КВС, отсюда ∠АВК=∠АВС-∠КВС ∠АДС=∠МДА+∠СДМ, отсюда ∠СДМ=∠АДС-∠МДА
АВ=АМ+ВМ, отсюда ВМ=АВ-АМ СД=СК+КД, отсюда КД=СД-СК Поскольку АВ=СД, а АМ=СК, значит ВМ=КД. Поскольку АВ║СД, то и ВМ║КД.
Получаеться, мы выяснили, что МД=ВК ∠ВМД=∠ДКБ ∠АВК=∠СДМ ВМ=КД ВМ║КД.
Из всего этого мы можем сделать вывод, что МВКД - это параллелограмм, поскольку у него противоположные стороны и углы равны.
Построим сумму векторов а и b и их разность. ↑АС = ↑р = ↑а + ↑b ↑DB = ↑q = ↑a - ↑b Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А. ∠ЕАС - искомый. Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов: |↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49 |↑q| = 7 Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°. Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов: |↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129 |↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов: cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC) cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903 cos α = - 13√129/301
АД=ВС и АД║ВС
АВ=СД и АВ║СД
∠А=∠С
∠В=∠Д
Рассмотрим треугольники АМД и ВСК.
АМ=СК - это дано по условию задания.
АД=ВС - это мы выяснили выше
∠А=∠С - это мы выяснили выше
А эти равности дают нам право утверждать, что треугольник АМД=треугольнику ВСК.
А это означает, что МД=ВК.
Также из равности треугольников можно утверждать, что
∠АМД=∠СКВ.
∠МДА=∠КВС.
Сумма мер двух смежных углов равна 180°, значит
∠ВМД+∠АМД=180°, отсюда ∠ВМД=180° - ∠АМД
∠ДКБ+∠СКВ=180°, отсюда ∠ДКБ=180° - ∠СКВ
Поскольку ∠АМД=∠СКВ, а значит
∠ВМД=∠ДКБ
Поскольку ∠МДА=∠КВС и ∠АВС=∠АДС, тогда
∠АВК=∠СДМ, так как
∠АВС=∠АВК+∠КВС, отсюда ∠АВК=∠АВС-∠КВС
∠АДС=∠МДА+∠СДМ, отсюда ∠СДМ=∠АДС-∠МДА
АВ=АМ+ВМ, отсюда ВМ=АВ-АМ
СД=СК+КД, отсюда КД=СД-СК
Поскольку АВ=СД, а АМ=СК, значит
ВМ=КД.
Поскольку АВ║СД, то и ВМ║КД.
Получаеться, мы выяснили, что
МД=ВК
∠ВМД=∠ДКБ
∠АВК=∠СДМ
ВМ=КД
ВМ║КД.
Из всего этого мы можем сделать вывод, что МВКД - это параллелограмм, поскольку у него противоположные стороны и углы равны.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301