Дан прямоугольный треугольник с катетами "а" и "в". Радиус "R" его описанной окружности равен 6,5, а радиус "r" вписанной окружности равен 2.
Если радиус описанной окружности равен 6,5, то гипотенуза равна 2*6,5 = 13. Отрезки катетов до точки касания вписанной окружности равны а - 2 и в - 2. По свойству касательных гипотенуза равна сумме этих отрезков: а - 2 + в - 2 = 13 или а + в = 17. По Пифагору 13² = а² + в². Возведём в квадрат равенство а + в = 17: а² + 2ав + в² = 289. Заменим а² + в² = 169. 2ав = 289 - 169 = 120, ав = 120/2 = 60. Из выражения а + в = 17 выразим в = 17 - а и подставим в ав = 60. Подучим: а(17 - а) = 60 или 17а - а² = 60. Получили квадратное уравнение а² - 17а + 60 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно a: Ищем дискриминант: D=(-17)^2-4*1*60=289-4*60=289-240=49;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: a_1=(√49-(-17))/(2*1)=(7-(-17))/2=(7+17)/2=24/2=12;a_2=(-√49-(-17))/(2*1)=(-7-(-17))/2=(-7+17)/2=10/2=5. Полученные результаты и есть размеры катетов.
Выразим, чему равны угла А и В треуг-ка АВС. Пусть <А = х, тогда <B=90-<A=90-x.Треугольники КАС и МВС равнобедренные по условию. Значит, углы при их основаниях КС и МС равны. <CKA=<KCA=<1, <CMB=<MCB=<2Выразим, чему равны углы 3 и 4 в этих треуг-ах:<3=180-<A=180-x<4=180-<B=180-(90-x)=90+xВыразим углы 1 и 2, зная, что сумма углов треугольника равна 180°:<1=(180-<3):2=(180-(180-x)):2=x:2<2=(180-<4):2=(180-(90+x)):2=(90-x):2<KCM=<1+90+<2<KCM=x:2 + 90 + (90-x):2 = 135°
Радиус "R" его описанной окружности равен 6,5, а радиус "r" вписанной окружности равен 2.
Если радиус описанной окружности равен 6,5, то гипотенуза равна 2*6,5 = 13.
Отрезки катетов до точки касания вписанной окружности равны а - 2 и в - 2.
По свойству касательных гипотенуза равна сумме этих отрезков:
а - 2 + в - 2 = 13 или а + в = 17.
По Пифагору 13² = а² + в².
Возведём в квадрат равенство а + в = 17:
а² + 2ав + в² = 289. Заменим а² + в² = 169.
2ав = 289 - 169 = 120,
ав = 120/2 = 60.
Из выражения а + в = 17 выразим в = 17 - а и подставим в ав = 60.
Подучим: а(17 - а) = 60 или 17а - а² = 60.
Получили квадратное уравнение а² - 17а + 60 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно a: Ищем дискриминант:
D=(-17)^2-4*1*60=289-4*60=289-240=49;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
a_1=(√49-(-17))/(2*1)=(7-(-17))/2=(7+17)/2=24/2=12;a_2=(-√49-(-17))/(2*1)=(-7-(-17))/2=(-7+17)/2=10/2=5.
Полученные результаты и есть размеры катетов.
ответ: катеты равны 5 и 12.