Сумма углов четырехугольника равна . Четырехугольник можно вписать в окружность, если суммы его противоположных углов равны . Четырехугольник можно описать вокруг окружности, если суммы длин его противоположных сторон равны: . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон: Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей. Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
По риссунку видно, что ВС - гипотенуза.
ВК = 12см, КС = 5 см, ОК = ОТ = ОР = радиусы.
Свойства описсаного прямоугольного треугольника твердят, что (по риссунку)
а) РО = ОТ = РА = АТ , Получается квадрат АРОТ у котого все стороны равны;
б) РВ = ВК = 12 см
с) КС = ТС = 5 см
Пусть АР = АТ = х см, тогда АВ = 12 + х, АС = х + 5, ВС = 12 + 5 = 17 см
Используем теорему Пифагора:
ВС² = АВ² + АС²
17² = (12 + х)² + (х + 5)²
289 = 144 + 24х + х² + х² + 10х + 25
2х² + 34х - 120 = 0 скоротим на 2
х² + 17х - 60 = 0
ищим дискриминантом
Д = 289 + 240 = 529 = 23²
х1 = 3
х2 = -20 - не удовлетворяет.
АВ = 12 + 3 =15см
АС = 3 + 5 = 8см
Четырехугольник можно вписать в окружность, если суммы его противоположных углов равны .
Четырехугольник можно описать вокруг окружности, если суммы длин его противоположных сторон равны: .
Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон:
Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.