Постройте трапецию ABCD с основаниями BC и AD. Проведите отрезок CM, параллельный ее диагонали BD (точка M принадлежит лучу AD). Объясните, почему площадь треугольника ACM равна половине произведения суммы длин оснований этой трапеции тна её высоту.
ответ: стороны треугольника 13; 14; 15
Объяснение: проведенные отрезки - это биссектрисы данного треугольника (центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис треугольника);
получившиеся треугольники имеют равные высоты - это радиус вписанной окружности (любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла; радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной)
площади треугольников, имеющих равные высоты относятся как основания; получим отношения сторон треугольника (для определенности обозначим сторону (а) у треугольника с площадью 30; сторона (b) у треугольника площадью 28; (с) для площади 26):
а/b = 30/28 = 15/14
a/c = 30/26 = 15/13
b/c = 28/26 = 14/13
можно записать три стороны:
a = 15c/13; b = 14c/13 и с.
площадь всего треугольника = 30+28+26 = 84 и она связана со сторонами по формуле Герона)
полупериметр = ((15/13)+(14/13)+1)*(c/2) = 21c/13
84 = корень из((21с/13)*(6c/13)*(7c/13)*(8c/13))
84 = 7*3*4*c^2/169
c^2 = 169
c = 13
b = 14
a = 15
При пересечении трех прямых образуется 3 пары равных между собой вертикальных углов.
Так как угол КАМ равен 90°, то значит прямые КL и MN взаимно перпендикулярны.
Поэтому ∠KAN=∠LAN=∠MAL=∠KAM=90°.
Условие "угол КАР: MAQ=4 : 5" дано для того, чтобы знать, как провести прямую PQ. ( cм. рис. 1)
Если PQ проведена так как на рисунке 1, обозначим
∠KAP=4x; ∠MAQ=5x, тогда
∠KAQ=4x-90°;∠MAP=5x-90°;
∠KAQ+∠KAM+∠MAP=180°;
4x-90°+90°+5x-90°=180°.
9x=270°
x=30°
∠KAP=4·30°=120°; ∠MAQ=5·30°=150°;
значит ∠МАР=∠QAN=30°;
∠PАL=∠QAK=60° и
∠PАL:∠LАN=60°:90°=2:3
Условие "один из углов 80°" не выполняется.
Если прямая PQ расположена так как на рисунке 2.
Аналогично случаю 1 обозначим
∠KAP=4x; ∠MAQ=5x, получаем невозможное∠KAP=4·30°=120°, а на рисунке угол ∠KAP- острый .
Требуется дополнительное условие.
Оно есть "один из углов 80°". Какой?
Если ∠KAP=80°, тогда ∠MAQ=100°
а на рисунке 2, угол ∠MAQ=180°-10°=170°.
Значит, нужен третий рисунок.
∠MAQ=80°,∠MAQ=5x. х=16°
∠KAP=4x=4·16°=64°
Но тогда не выполняется условие "два других относятся как 2:3".