Поставила на максимум! решить! шар радиуса 6 вписан в правильную треугольную усеченную пирамиду. найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если двугранный угол при меньшем основании равен 120.

Вас обманули:) такого не может быть, потому что такого не может быть никогда.

Пусть прямая АР пересекает ВС в точке К.

Тогда по теореме Чевы (если не знаете эту теорему, могу потом с ней)

(АМ/MB)*(BK/KC)*(CN/NA) = 1;

если подставить АМ/МВ = 1/2; CN/AN = 3/2; получается ВК/КС = 4/3;

По теореме Ван-Обеля (см. предыдущее примечание)

ВР/PN = BM/MA + BK/KC = 2 + 4/3 = 10/3;

CP/PM = CK/KB + CN/NA = 3/4 + 3/2 = 9/4;

Если обозначить синус угла ВРС как х, то

площадь треугольника ВРС равна ВР*СP*x/2; 

площадь треугольника MNP равна PM*PN*x/2;

и их отношение равно (BP/PN)*(CP/PM) = 90/12 = 45/6;

так что если у треугольника MNP площадь 6, то у треугольника  BPC площадь 45, а не 15. 

Ну, и если уж очень хочется, в этом случае 

АР/PK = AM/MB + AN/NC = 7/6; то есть у треугольника ВСР высота (расстояние от Р до ВС) равно 6/13 высоты АВС (то есть расстояния от А до ВС), соответственно, и площадь АВС равна 13/6 площади ВСР (все необходимые обоснования дайте самостоятельно - например, объясните, почему это я говорю про высоты, если АК - наклонная к ВС?). 

Вы уж сами выбирайте, какое условие лишнее - площадь MNP или что-то другое.

Если  точка равноудалена от сторон треугольника, товысота оущенная из этой точки падает в центр впмсанной окружности, радус вычисляем по формуле (а+в-с)/2, где а и в - катеты с- гипотенуза. один катет известен -8, второй вычисляем по теореме пифагора

км=5 . радиус впмсанной окружности равен (12+5-13)/2=2

обозначим центр впмсанной окружности О, пусть окружность касается катета КМ в точке Д

 треугольник АОД прямоугольный -АО перпендикуляр к плоскости треугольника - и есть искомое расстояние  АД =8, ДО=2 По тореме пифагора находим

АО =√60=2√15