подписку, лучший ответ, 5 звезд 1.Изобразите куб ABCDA1B1C1D1. Точки K, L, M – середины ребер АВ, AD, AA1 соответственно.
а) Запишите ребра куба, параллельные грани ABCD.
б) Каково взаимное расположение прямой KL и плоскости BDC1?
в) Каково взаимное расположение плоскостей KLM и BDA1?
2. Отрезок АВ не пересекает плоскость , С – середина отрезка АВ. Через точки А, В, С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А1, В1, С1 соответственно. Найдите АА1, если ВВ1= 4 см, СС1= 3 см.
3. Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки М, N и Р — середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка К лежит на отрезке BN. Сделайте рисунок к задаче и выясните взаимное расположение прямых: а) ND и АВ; б) KN и AC.
4. Параллельные отрезки А1А2, В1 В2 и С1С2 заключены
между параллельными плоскостями и β.
Докажите, что ∆А1В1С1= ∆А2В2С2.
5. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты соответственно точки D и Е так, что DЕ = 5 см и BD:DA = 3:1. Плоскость проходит через точки В и С и параллельна отрезку DE. Сделайте рисунок к задаче и найдите длину отрезка ВС.
Пусть дан треугольник АВС, ВМ - его медиана.
АС:ВМ=3:2
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Следовательно, медиана делит основание АС на АМ=МС, а точка на ней, равноудаленная от сторон треугольника, - центр вписанной в него окружности. ОМ=ОК=r.
Примем коэффициент отношения основания и высоты равным а.
Тогда ВМ=2а. и МС=АС:2=3а:2=1,5а,
По т. Пифагора найдем боковую сторону.
ВС=√(BM²+MC²)=√(4a²+2,25a²)=2,5a
АВ=ВС.
Р=2•2,5а+3а=8а
8а=96,⇒ а=12 см
ВМ=2•12=24 см
МС=1,5•12=18 см, АС=36 см
Формула радиуса вписанной в треугольник окружности
r=S:p, где р- полупериметр. р=96:2=48 см
r=ВМ•СМ:48=24•18:48=9 см
Длина окружности L=2πr=18π см
∠oxz = ∠oyz = 90°
сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°
∠xoz = 360 - 150 - 90 - 90 = 30°
По т. косинусов
xy² = ox² + oy² - 2*ox*oy*cos(∠xoz)
xy² = 3² + 3² - 2*3*3*cos(30°)
xy² = 18 - 2*9*√3/2
xy² = 18 - 9*√3 = 9(2-√3)
xy = 3√(2-√3)
некрасиво, корень под корнем, можно немного улучшить
2-√3 = (a√3 + b)²
2-√3 = a²*3 + 2ab√3 + b²
слагаемые с корнем приравняем
-√3 = 2ab√3
2ab = -1
ab = -1/2
b = -1/(2a)
а теперь слагаемые без корня
2 = 3a² +b²
2 = 3a² +(-1/(2a))²
2 = 3a² +1/(2a)²
2*4a² = 3a²*4a² + 1
12a⁴ - 8a² + 1 = 0
дискриминант
D = 8² - 4*12 = 64-48 = 16 = 4²
Корни
(a²)₁₂ = (8-4)/(2*12) = 4/24 = 1/6
a₁ = -1/√6
b₁ = -1/(2a₁) = √6/2 = √(3/2)
2-√3 = (a₁√3 + b₁)² = (-1/√2 + √(3/2))² = (√3-1)²/2
√(2-√3) = (√3 - 1)/√2
Уже лучше
xy = 3√(2-√3) = 3(√3 - 1)/√2 = 3√2(√3 - 1)/2 = 3(√6-√2)/2