ПО ФАСТУ Дан правильный многоугольник и длина радиуса R окружности, описанной около многоугольника. Определи площадь многоугольника, если:
- у многоугольника 12 сторон и R= 4 см
(если корня в ответе нет, под знаком корня пиши 1).
S= *⋅√* см2
- у многоугольника 20 сторон и R= 4 см
(ответ округли до целых).
S= *см2.
1. Из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора:
BD = √(AB² - AD²) = √(20² - 12²) = √(400 - 144) = √256 = 16 см
Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу:
AD² = BD · DC
DC = AD² / BD = 144 / 16 = 9 см
ВС = BD + DC = 16 + 9 = 25 см
Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора:
AC = √(BC² - AB²) = √(625 - 400) = √225 = 15 см
cos∠C = AC / BC = 15 / 25 = 3/5 = 0,6
2. ΔABD: ∠ADB = 90°,
cos∠A = AD / AB
AD = AB · cos 41° ≈ 12 · 0,7547 ≈ 9,1 см
ΔADH: ∠AHD = 90°,
sin∠A = DH / AD
DH = AD · sin41° ≈ 9,1 · 0,6561 ≈ 6 см
Sabcd = AB · DH ≈ 12 · 6 ≈ 72 см²
1)Высота НО "разбила" тр-к МНК на два прямоуг. тр-ка МНО и НОК.
2) Из тр-ка МНО: L М = 45, значит тр-к равнобедренный и МО=НО=6,
МН = 6*корень из 2.
3)Из тр-ка НОК: НК =10 (теор. Пифагора).
4) Дополнительное построение: до параллелограмма КРII МН, НРII МК, тогда МР - диагональ пар-ма МНРК.Пусть МР пересекает НК в точке О, тогда МО - искомая медиана. Применим свойсво: сумма квадратов диагоналей пар-ма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.
МР^2+НК^2= 2*(МН^2+МК^2)
МР^2+10^2= 2*((6*корень из 2)^2+14^2)
МР^2 = 2*(72+196)-100= 436
МР = корень из 436= 2* корень из 109
МО = 0,5*МР =корень из 109.
ответ: корень из 109.