По чертежам решить задачи

Пусть А - начало координат

Ось Х - АВ

Ось Y - AD

Ось Z - AA1

Координаты точек

А1 (0;0;1)

B1 (1;0;1)

D1(0;1;1)

C1(1;1;1)

B(1;0;0)

Уравнение плоскости АВ1D1

- проходит через начало координат

ax+by+cz=0

Подставляем координаты точек

B1 D1

a+c=0

b+c=0

Пусть с = -1 тогда а =1 b =1

x+y-z=0

Уравнение плоскости ВА1С1

ax+by+cz+d=0

Подставляем координаты точек

В А1 С1

а+d = 0

c+ d = 0

a+b+c+d= 0

Пусть d = -1 тогда а=1 c=1 b= -1

x-y+z-1=0

Косинус искомого угла между плоскостями равен

| (1;1;-1) * (1;-1;1) | / | (1;1;-1) | / | (1;-1;1) | = | 1-1-1 | / √3 / √3 = 1/3

Угол arccos (1/3)

параллелепипеде верны следующие равенства:

\begin{gathered}\vec{AB}=\vec{A_1B_1}=\vec{DC}=\vec{D_1C_1}\\\vec{BC}=\vec{B_1C_1}=\vec{AD}=\vec{A_1D_1}\\\vec{AA_1}=\vec{BB_1}=\vec{DD_1}=\vec{CC_1}\\\end{gathered}AB=A1B1=DC=D1C1BC=B1C1=AD=A1D1AA1=BB1=DD1=CC1

следовательно

\begin{gathered}\vec{AB}+\vec{B_1C_1}+\vec{DD_1}+\vec{CD}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DD_1}=\vec{AD_1}vec{BD_1}-\vec{B_1C_1}=\vec{BD_1}-\vec{BC}=\vec{CD_1}\end{gathered}AB+B1C1+DD1+CD=AB+BC+CD+DD1=AD1BD1−B1C1=BD1−BC=CD1

2.\begin{gathered}\vec{BN}=\vec{BD}+\vec{DN}=\vec d +\frac{1}{2}\vec{DS}=\vec d+\frac{1}{2}(\vec{BS}-\vec{BD})=\\=\vec d+\frac{1}{2}\vec{BS}-\frac{1}{2}\vec d=\frac{1}{2}\vec d+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(\vec{BA}+\vec{BC}))=\frac{1}{2}\vec d + \frac{1}{4}\vec a + \frac{1}{4}\vec c\end{gathered}BN=BD+DN=d+21DS=d+21(BS−BD)==d+21BS−21d=21d+21(