Плоскость, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает сторону АС в точке А1, а сторону ВС – в точке В1.
Найти длину стороны АВ, если А1В1 = 20 см и АС: А1С = 5:2.

Это задачи на подобие треугольников.

№1

АВ║ДЕ; ВД и АЕ - секущие

∠В=∠Д  и  ∠А=∠Е как накрест лежащие  ⇒

Δ АВС и Δ ВСЕ  подобны по 2-м углам.

АС/СЕ=ВС/СД

12/СЕ=10/5

СЕ=12*5/10=12/2=6 единиц - это ответ.

№2 (если ΔАВС прямоугольный)

ΔАСВ; ∠В=α; ∠А=90-α

Пусть высота СД

ΔАСД; ∠А=90-α;  ∠АСД=90-(90-α)=α

⇒ ΔАСД и ΔСДВ подобны по острому углу α.

АД/АС=СД/СВ

АД/8=4/12

АД/8=1/3

АД=8/3=2 2/3  -  это ответ. Проверка показывает, что или АСВ - не прямоугольный треугольник или числа не те.

По т.Пифагора АД=√(64-16)=√48=√16*3=4√3 - это ответ.

Диагональ квадрата BD делит его прямые углы пополам. Значит, углы АВD и ВDА равны по 45°.

После сгибов треугольник ABE наложится на треугольник GBE.

Поскольку треугольники, совпадающие при наложении, равны, то равны их соответствующие элементы. В частности равны углы ABE и EBG. Но в сумме они дают угол 45°. Значит, каждый из них равен по 22.5°.

Итак, в треугольнике ВЕD известно два угла, а третий угол - искомый. Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, найдем угол:

∠BED=180°-∠BDE-∠DBE

∠BED=180°-45°-22.5°=112.5°

Аналогично рассуждая, получим, что угол BFD также равен 112.5°.

Значит их сумма равна 112.5°+112.5°=225°.

ответ: 225°