Площадь четырехугольника равна 180 см2. Его ортогональной проекцией является параллелограмм, одна из сторон которого равна 15 см, а угол между сторонами – 60°. Найди неизвестную сторону параллелограмма, если угол между плоскостью данного четырехугольника и плоскостью его проекции равен 30°.
a) Пусть Середины ребер AC и BC - Соответственно D и E .
DE - очевидно 3 , поэтому надо доказать что апофемы пирамиды MD и ME тоже равны трем.
Рассмотрим треугольник AME . Он по условию прямоугольный с прямым углом M ( MA перпендикулярно MBC )
Высота MO Проецируется в центр основания ABC ( пирамида правильная )
AE = 6√3/2 = 3√3
AO=2√3
EO = √3
пусть высота MO - h
тогда по теореме Пифагора
h^2+(√3)^2+h^2+(2√3)^2=(3√3)^2
Откуда h=√6
ME^2 = h^2+3
ME=3
Доказано.
б) Пусть С - начало координат
Ось X - CA
Ось Y - перпендикулярно X в сторону B
Ось Z - перпендикулярно ABC в сторону M
Координаты Точек
D(3;0;0)
E(3/2;3√3/2;0)
M(3;√3;√6)
Уравнение плоскости DEM
ax+by+cz+d=0 подставляем координаты точек
3a+d=0
3a/2+3√3b/2+d=0
3a+√3b+√6c+d=0
Пусть d= -6 Тогда a=2 b=2/√3 c= - 2/√6
2x+ 2y/√3 - 2z/√6 - 6 =0
k=√ (4+4/3+4/6) = √6
Нормализованное уравнение
2x/√6+ 2y/(√3√6) - 2z/(√6√6) - 6/√6 =0
Расстояние от С (начала координат) до Плоскости DEM Равно
6/√6 = √6
В треугольнике АВС АО=ОС. Следовательно, треугольник АОС - равноберденный.
В треугольниках АОВ и ВОС равны две стороны АО и ОС и ВО - общая, и угол между ними. Поэтому треугольники АОВ=ВОС.
АВ=ВС, а треугольник АВС - равнобедренный.
Угол А= углу С
Угол В равен
180-55*2=70 градусов
Точка О равноудалена от вершин треугольника АВС. Следовательно, О находится на биссектрисе равнобедренного треугольника. Биссектриса равнобедренного треугольника является и его медианой и высотой. А высота - перпендикуляр к основанию АС, будучи одновременно медианой, она является и срединым перпендикуляром к стороне АС.