Периметр треугольника ABC равен 8 см, периметр треугольника DEF равен 10 см.
Докажи, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 9 см.
1. Рассмотри треугольники PAK, KDL, LBM, MEN, NCR и RFP, напиши для каждого из них неравенство треугольника для сторон, которые также являются сторонами шестиугольника:
В треугольнике PAK: PK < PA +
;
В треугольнике KDL: KL < + ;
В треугольнике LBM: < + ;
В треугольнике MEN: < + ;
В треугольнике NCR: < + ;
В треугольнике RFP: < + .
Варианты ответов:
2. Если сложить левые и правые стороны правильных неравенств, то получится правильное неравенство.
Которые из величин задания получились в левой стороне после сложения?
Периметр треугольника ABC
Удвоенный периметр треугольника DEF
Периметр шестиугольника PKLMNR
Периметр треугольника DEF
Удвоенный периметр треугольника ABC
Удвоенный периметр шестиугольника PKLMNR
3. Если к обеим сторонам правильного неравенства добавить одну и ту же величину, то получится правильное неравенство.
Добавь к обеим сторонам полученного в предыдущем шаге правильного неравенства PK+KL+LM+MN+NR+RP.
Которые из величин задания получились в левой стороне после сложения?
Периметр треугольника ABC
Удвоенный периметр треугольника DEF
Периметр треугольника DEF
Удвоенный периметр шестиугольника PKLMNR
Удвоенный периметр треугольника ABC
Периметр шестиугольника PKLMNR
4. Которые из величин задания получились в правой стороне после сложения?
Удвоенный периметр треугольника DEF
Периметр шестиугольника PKLMNR
Удвоенный периметр треугольника ABC
Удвоенный периметр шестиугольника PKLMNR
Периметр треугольника ABC
Периметр треугольника DEF
5. Чему равна правая сторона полученного неравенства, если использовать данные числовые значения?
ответ:
.
6. Что необходимо сделать с обеими сторонами полученного неравенства, чтобы доказать, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 9 см?
Векторы ab-cb = ab - (-bc) = ab+ bc = ac (по правилу сложения: "Суммой двух векторов a и b называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора a , а конец - с концом вектора b , при условии, что начало вектора b приложено к концу вектора a".
Векторы ac + cd = ad (по правилу сложения).
Или так:
cd - cb = bd (по правилу вычитания: "Для получения вектора разности (c) = (a-b) начала векторов соединяются и началом вектора разности (c) будет конец вектора (b) (вычитаемое), а концом — конец вектора (a) (уменьшаемое)".
Задача 4 К окружности с центром в точке О проведены из точки В касательные АВ и ВС (А и С - точки касания), Окружность пересекает отрезок ОВ в точке Т. ∠АВТ=30°. Доказать, что Т - точка пересечения биссектрис ∆ АВС. ---------------------------------------------------- Нарисуем окружность и касательные ВА и ВС. Соединим А и С с центром окружности и с точкой В. АВ=ВС как отрезки касательных из одной точки, АО=ОС - радиусы, ОВ - общая сторона. ∠ОВС=∠АВО=30°. Точка Т лежит на ВО ВО - гипотенуза треугольника, в котором катет, противолежащий углу 30°, равен R. ОТ - радиус => ВТ=ОТ. Проведем АК и СР через точку Т до пересечения с АВ и АС. Треугольники АОТ и ТОС образованы радиусами, они равнобедренные и равносторонние, так как центральные углы в них являются и углами прямоугольных треугольников, в которых один из острых углов ( при В) равен 30°. Следовательно, центральные углы АОТ и ТОС равны 60°. АС диагональ ромба и является биссектрисой углов ромба АОСТ.=> ∠ ТАС=∠ТСА=30° и отсюда СР и АК - биссектрисы углов А и С. Но и ВМ биссектриса треугольника АВС. Точка Т является точкой пересечения биссектрис треугольника АВС. ================================================================== Задача 5 Вершины А, В, С и Д куба АВСДА₁В₁С₁D₁ лежат на окружности. Точкa О - середина ребра АD. Хорда окружности проходит через точку О и параллельна отрезку АС . Вычислить длину этой хорды, если площадь поверхности куба равна 384 см² --------------------------------------- Обозначим концы хорды К и Р Проведем в окружности диаметр ВD, который является хордой и диагональю вписанного квадрата. Хорда КР делит диаметр на две части ВМ и МD. Так как КР содержит среднюю линию треугольника АDС, высота треугольника=радиус ЕD разделен в точке М пополам. MD=1/4 диаметра окружности, ВМ=3/4 диаметра Произведения отрезков каждой хорды, получившихся при пересечении этих хорд, равны. Диагонали квадрата при пересечении делятся пополам и перпендикулярны друг другу. Хорда параллельна диаметру. Диаметр делит хорду, к которой он перпендикулярен, пополам. Пусть КМ=МР=х Тогда х²=1/4 D×3/4 D=(3/16)D х=0,25√3 D КР=2х=0,5√3 D Длина диаметра окружности равна диагонали грани куба. Ребро куба найдем из площади его поверхности. Граней у куба 6, площадь каждой а²=384:6=64см² Ребро куба равно а= √64=8см Диагональ грани равна 8√2см (d=a√2 ) Длина хорды КР=(0,5√3)×8√2= 4√6 см
ab-cb+cd = ad.
Объяснение:
Вектор cb = - bc.
Векторы ab-cb = ab - (-bc) = ab+ bc = ac (по правилу сложения: "Суммой двух векторов a и b называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора a , а конец - с концом вектора b , при условии, что начало вектора b приложено к концу вектора a".
Векторы ac + cd = ad (по правилу сложения).
Или так:
cd - cb = bd (по правилу вычитания: "Для получения вектора разности (c) = (a-b) начала векторов соединяются и началом вектора разности (c) будет конец вектора (b) (вычитаемое), а концом — конец вектора (a) (уменьшаемое)".
ab + bd = ad.
К окружности с центром в точке О проведены из точки В касательные АВ и ВС (А и С - точки касания), Окружность пересекает отрезок ОВ в точке Т. ∠АВТ=30°. Доказать, что Т - точка пересечения биссектрис ∆ АВС.
----------------------------------------------------
Нарисуем окружность и касательные ВА и ВС.
Соединим А и С с центром окружности и с точкой В.
АВ=ВС как отрезки касательных из одной точки,
АО=ОС - радиусы,
ОВ - общая сторона.
∠ОВС=∠АВО=30°.
Точка Т лежит на ВО
ВО - гипотенуза треугольника, в котором
катет, противолежащий углу 30°, равен R.
ОТ - радиус => ВТ=ОТ.
Проведем АК и СР через точку Т до пересечения с АВ и АС.
Треугольники АОТ и ТОС образованы радиусами, они равнобедренные и равносторонние, так как центральные углы в них являются и углами прямоугольных треугольников, в которых один из острых углов ( при В) равен 30°.
Следовательно, центральные углы АОТ и ТОС равны 60°.
АС диагональ ромба и является биссектрисой углов ромба АОСТ.=>
∠ ТАС=∠ТСА=30° и отсюда СР и АК - биссектрисы углов А и С.
Но и ВМ биссектриса треугольника АВС.
Точка Т является точкой пересечения биссектрис треугольника АВС.
==================================================================
Задача 5
Вершины А, В, С и Д куба АВСДА₁В₁С₁D₁ лежат на окружности. Точкa О - середина ребра АD. Хорда окружности проходит через точку О и параллельна отрезку АС . Вычислить длину этой хорды, если площадь поверхности куба равна 384 см²
---------------------------------------
Обозначим концы хорды К и Р
Проведем в окружности диаметр ВD, который является хордой и диагональю вписанного квадрата.
Хорда КР делит диаметр на две части ВМ и МD.
Так как КР содержит среднюю линию треугольника АDС,
высота треугольника=радиус ЕD разделен в точке М пополам.
MD=1/4 диаметра окружности,
ВМ=3/4 диаметра
Произведения отрезков каждой хорды, получившихся при пересечении этих хорд, равны.
Диагонали квадрата при пересечении делятся пополам и перпендикулярны друг другу.
Хорда параллельна диаметру.
Диаметр делит хорду, к которой он перпендикулярен, пополам.
Пусть КМ=МР=х
Тогда х²=1/4 D×3/4 D=(3/16)D
х=0,25√3 D
КР=2х=0,5√3 D
Длина диаметра окружности равна диагонали грани куба.
Ребро куба найдем из площади его поверхности.
Граней у куба 6, площадь каждой а²=384:6=64см²
Ребро куба равно а= √64=8см
Диагональ грани равна 8√2см (d=a√2 )
Длина хорды КР=(0,5√3)×8√2= 4√6 см