Периметр треугольника ABC равен 144. Медиана BD делит треугольник на два треугольника, периметр каждого из них 84 см. Найдите площадь треугольника и радиус вписанного круга (чертёж, дано, решение)
1) Докажем по определению: "Параллелограммом называется четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны".
по аксиоме любые три точки всегда лежат в одной плоскости. Значит четвертая точка не лежит в данной плоскости. Если все 4 точки соединить между собой, то получится треугольная пирамида (тетраэдр) рассмотрим ΔАВС: Если Е и F - середины сторон АВ и ВС, то EF - средняя линия треугольника (по определению), следовательно EF || AC. аналогично для других треугольников: KM - средняя линия треугольника ADC значит КM || AC Если EF || AC и КM || AC, то EF || KM (закон транзитивности)
EK - средняя линия треугольника ADB, значит EK || BD MF- средняя линия треугольника CDB, значит MF || BD Если EK || BD и MF || BD, то EK || MF
Итак, EF || KM и EK || MF, следовательно EFKM-параллелограмм (по определению) - ч.т.д.
2) средняя линия треугольника равна половине основания KE=MF=BD/2=8/2=4 см KM=EF=AC/2=6/2=3 см Периметр (Р) - сумма длин всех сторон KE+MF+KM+EF=4+4+3+3=14 см Отв: 14 см
"Параллелограммом называется четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны".
по аксиоме любые три точки всегда лежат в одной плоскости.
Значит четвертая точка не лежит в данной плоскости. Если все 4 точки соединить между собой, то получится треугольная пирамида (тетраэдр)
рассмотрим ΔАВС:
Если Е и F - середины сторон АВ и ВС, то EF - средняя линия треугольника (по определению), следовательно EF || AC.
аналогично для других треугольников:
KM - средняя линия треугольника ADC значит КM || AC
Если EF || AC и КM || AC, то EF || KM (закон транзитивности)
EK - средняя линия треугольника ADB, значит EK || BD
MF- средняя линия треугольника CDB, значит MF || BD
Если EK || BD и MF || BD, то EK || MF
Итак, EF || KM и EK || MF, следовательно EFKM-параллелограмм (по определению) - ч.т.д.
2) средняя линия треугольника равна половине основания
KE=MF=BD/2=8/2=4 см
KM=EF=AC/2=6/2=3 см
Периметр (Р) - сумма длин всех сторон
KE+MF+KM+EF=4+4+3+3=14 см
Отв: 14 см
Площадь прямоугольного треугольника равна 84 дм², а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, 3см. Найти катеты треугольника.
Пусть дан треугольник АВС, угол С=90º
Точки касания вписанной окружности на АС- точка К, на ВС - точка Н, на гипотенузе АВ- точка М.
Пусть АК=х, ВН=у.
Тогда по свойству отрезков касательных из одной точки АМ=х, ВМ=у
АВ=х+у
АС=х+3, ВС=у+3
Формула радиуса вписанной окружности
r=S:p, где r -радиус, S - площадь треугольника. р- его полупериметр
р=х+у+3
3=84:(х+у+3)
х+у+3=28⇒
х+у=25
у=25-х
АВ=х+у=25 дм
АС=х+3
ВС=25-х+3=28-х
По т.Пифагора
(х+3)²+(28-х)²=625
Произведя вычисления и приведя подобные члены, получим квадратное уравнение
х²-25х+84=0
D=25²-4·84=289
Решив уравнение, найдем два корня: 21 и 4
АС=21+3=24 дм
ВС=28-21=7 дм
Кстати, длины сторон этого треугольника из Пифагоровых троек, где стороны относятся как 7:24:25