1. Меньшая диагональ правильного шестиугольника образует равнобедренный треугольник с углом при вершине - 120°. Основание треугольника - 6√3 (по условию). Проводим высоту из вершины треугольника. Она является биссектрисой и медианой. В образовавшемся треугольнике углы - 60°, 30°, 90°. Против угла 30° лежит катет в два раза меньше гипотенузы. Принимаем за х высоту треугольника и решаем по тю Пифагора: 4х²=х²+(3√3)² 3х²=27 х=3; Гипотенуза - сторона правильного шестиугольника равна 3*2=6. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности. R=6. L=2πR=12π.
2. Неизвестный угол обозначен на чертеже красным цветом. Находим FH из прямоугольного треугольника BFH. FH=√(5²-3²)=4. В треугольнике ВНО ВН=ОН (углы при ОВ 45° и угол Н 90°) и равны 6/2=3. Тогда, из треугольника FHO FH*cosα=OH, cosα=OH/FH, α=arccosOH/FH=arccos0.6.
Окружность вписана в сектор, значит, она касается радиусов и дуги, на которую опирается центральный угол. А - центр большей окружности, угол А=60º Н -точке касания вписанной в сектор окружности с дугой. ВС - касательная к точке H. ∠АНС=∠ВНС=90º Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе. АН- биссектриса∠ВАС ∠ВАН=САН=30º ∆ ВАН= ∆ САН ∠АВС=∠АСВ=60º ∆ АВС - равносторонний с высотой АН=R=4 см Радиус r вписанной в правильный треугольник окружности равен 1/3 её высоты. r =4/3 см Ѕ=πr²=(4/3)² π=16/9π см²
В образовавшемся треугольнике углы - 60°, 30°, 90°. Против угла 30° лежит катет в два раза меньше гипотенузы. Принимаем за х высоту треугольника и решаем по тю Пифагора:
4х²=х²+(3√3)²
3х²=27
х=3;
Гипотенуза - сторона правильного шестиугольника равна 3*2=6.
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.
R=6.
L=2πR=12π.
2. Неизвестный угол обозначен на чертеже красным цветом.
Находим FH из прямоугольного треугольника BFH.
FH=√(5²-3²)=4.
В треугольнике ВНО ВН=ОН (углы при ОВ 45° и угол Н 90°) и равны 6/2=3.
Тогда, из треугольника FHO FH*cosα=OH, cosα=OH/FH, α=arccosOH/FH=arccos0.6.
А - центр большей окружности,
угол А=60º
Н -точке касания вписанной в сектор окружности с дугой.
ВС - касательная к точке H.
∠АНС=∠ВНС=90º
Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе.
АН- биссектриса∠ВАС
∠ВАН=САН=30º
∆ ВАН= ∆ САН
∠АВС=∠АСВ=60º
∆ АВС - равносторонний с высотой АН=R=4 см
Радиус r вписанной в правильный треугольник окружности равен 1/3 её высоты.
r =4/3 см
Ѕ=πr²=(4/3)² π=16/9π см²