Отрезок DM - биссектриса треугольника CDE. Через точку M проведена прямая, параллельная стороне DE и пересекающая сторону DC в точке N найти треугольник DMN, если CDE = 59о

Показать ответ

Ответ:

ladomix

07.01.2022 21:16

Рисунок, допустим, схематично будет такой:
A D

B C
Если сторона AD больше каждой соседней стороны (в данном случае AB и CD) на 2 см, это значит, что стороны AB и CD на 2 см меньше стороны AD.
Если сторона AD на 4 см меньше противолежащей стороны BC, это значит, что сторона BC на 4 см больше стороны AD.
1) 12-2=10 (см) - стороны AB, CD.
2) 12+4=16 (см) - сторона BC.
Сумма длин всех сторон - это периметр, то есть складываем все 4 стороны:
3) 12+10+10+16=48 (см) - периметр.
ответ: 48 см.

0,0(0 оценок)

Ответ:

qwertynikas

02.03.2021 08:21

Объем призмы равен $3\sqrt{2}$

Объяснение:

(Рис. 1)

Тт. ${A_1},$ и ${B_1}$ лежат в одной плоскости и, будучи соединены последовательно, образуют равнобокую трапецию ( — средняя линия $\triangle ABC,$ поэтому $MN\parallel AB\parallel {A_1}{B_1},$ $MN = \displaystyle\frac{{AB}}{2} = 1,$ ${A_1}M = {B_1}N$ ).

Поэтому угол, о котором идет речь в условии задачи — это угол между диагоналями трапеции.

Далее возможны два варианта: $\angle MON = \angle {A_1}O{B_1} = 60^\circ$ либо $\angle {A_1}OM = \angle {B_1}ON = 60^\circ ,$ тогда $\angle MON = \angle {A_1}O{B_1} = 120^\circ$ (см. рис. 2).

Решим задачу в общем виде (рис. 3). Пускай $\angle MON = \alpha ,$ $\angle MO{A_1} = 180^\circ - \alpha .$ Продлим нижнее основание ${B_1}{A_1}$ за точку ${A_1}$ на длину верхнего основания: ${A_1}K = NM = 1.$ Тогда образовавшийся четырехугольник ${A_1}NMK$ — параллелограмм, $N{A_1}\parallel MK,$ $N{A_1} = MK.$ Значит $\angle {B_1}MK = \alpha ,$ а

$\angle M{B_1}K = \angle MK{B_1} = \displaystyle\frac{{180^\circ - \alpha }}{2} = 90^\circ - \displaystyle\frac{\alpha }{2}.$

По теореме синусов

$\displaystyle\frac{a}{{\sin \alpha }} = \displaystyle\frac{b}{{\sin \beta }} = \displaystyle\frac{c}{{\sin \gamma }},$

используя формулу приведения и формулу синуса двойного угла найдем длину диагонали:

$\displaystyle\frac{{{B_1}K}}{{\sin \angle {B_1}MK}} = \displaystyle\frac{{MK}}{{\sin \angle B{M_1}K}};$

$\displaystyle\frac{{2 + 1}}{{\sin \alpha }} = \displaystyle\frac{{MK}}{{\sin \left( {90^\circ - \displaystyle\frac{\alpha }{2}} \right)}};$

$\displaystyle\frac{3}{{\sin \alpha }} = \displaystyle\frac{{MK}}{{\cos \displaystyle\frac{\alpha }{2}}};$

$MK = \displaystyle\frac{{3\cos \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}{{\sin \alpha }} = \displaystyle\frac{{3\cos \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}{{2\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}\cos \displaystyle\frac{\alpha }{2}}} = \displaystyle\frac{3}{{2\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}.$

Треугольники MON и ${B_1}O{A_1}$ подобны, $\displaystyle\frac{{MN}}{{{B_1}{A_1}}} = \displaystyle\frac{1}{2},$ значит и $\displaystyle\frac{{NO}}{{O{A_1}}} = \displaystyle\frac{{MO}}{{O{A_1}}} = \displaystyle\frac{1}{2},$ отсюда

$MO = \displaystyle\frac{1}{3}N{A_1} = \displaystyle\frac{1}{3}MK = \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle\frac{3}{{2\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}} = \displaystyle\frac{1}{{2\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}},$

$O{A_1} = 2MO = \displaystyle\frac{1}{{\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}.$

По теореме косинусов для треугольника $OM{A_1}$

$MA_1^2 = M{O^2} + OA_1^2 - 2MO \cdot O{A_1}\cos \angle MO{A_1};$

$MA_1^2 = \displaystyle\frac{1}4\sin }^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2}}} + \displaystyle\frac{1}\sin }^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2}}} - 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{{2\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}} \cdot \displaystyle\frac{1}{{\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}\cos (180^\circ - \alpha ) =$

$=\displaystyle\frac{5}4\sin }^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2}}} - \displaystyle\frac{1}\sin }^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2}}}( - \cos \alpha ) = \displaystyle\frac{{5 + 4\cos \alpha }}4\sin }^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2}}},$

откуда

$M{A_1} = N{B_1} = \displaystyle\frac{{\sqrt {5 + 4\cos \alpha } }}{{2\sin \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}.$

Тогда если $\alpha = 60^\circ ,$

$M{A_1} = N{B_1} = \displaystyle\frac{{\sqrt {5 + 4\cos 60^\circ } }}{{2\sin 30^\circ }} = \displaystyle\frac{{\sqrt {5 + 4 \cdot \displaystyle\frac{1}{2}} }}{{2\cdot\displaystyle\frac{1}{2}}} = \sqrt 7 .$

Если же $\alpha = 120^\circ ,$ тогда

$M{A_1} = N{B_1} = \displaystyle\frac{{\sqrt {5 + 4\cos 120^\circ } }}{{2\sin 60^\circ }} = \displaystyle\frac{{\sqrt {5 - 4 \cdot \displaystyle\frac{1}{2}} }}{{2\cdot\displaystyle\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \sqrt 3 :\sqrt 3= 1.$