Отношение периметров двух подобных треугольников равно 5/2, сумма площадей этих треугольников равна 58 см2. Вычисли площадь каждого треугольника.​

Вариант 1: 2√13  ≈7,21 см..

Вариант 2: 10 см.

Объяснение:

Пусть дан треугольник АВС.

АВ=6√2, ВС=2, R=AC/√2 (дано).

Найти АС.

По теореме синусов: АС/sinB = 2R. => SinB = AC√2/(2AC) (подставили значение R=AC/√2) = √2/2. Значит угол равен 45 градусов и cosB=√2/2. По теореме косинусов:

АС²= АВ²+ВС² - 2АВ*ВС*cosB. Подставляем значения и получаем АС² =72+4 - 24 =52.  

АС = √52 = 2√13 см.

Второй вариант:

Угол при вершине В тупой и тогда косинус этого угла отрицательный и равен -√2/2.

АС²= АВ²+ВС² + 2АВ*ВС*cosB = 72+4 + 24 =100.

АC = 10 см.

Проверка:

Вариант 1: АВ≈8,48; ВС=2; АС≈7,21.  8,48 < 7,83+2. Треугольник существует.

Вариант 2: АВ≈8,48; ВС=2; АС=10.  10 < 8,48+2. Треугольник существует.

P.S. CosB можно было найти и по формуле:

cosB=√(1-sin²B).

Если сделать рисунок, то будет понятно, что радиус этой окружности - катет АС данного прямоугольного треугольника.

Если окружность имеет с прямой только одну общую точку, то эта прямая - касательная к этой окружности.

Вершина угла А - точка касания.

 Радиус окружности найдем по теореме Пифагора или вспомнив, что три стороны этого треугольника из так называемых троек Пифагора с отношением сторон 5:12:13. 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Треугольник, длины сторон которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть, все его стороны и площадь являются целыми числами.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Катет АС=12 см, и является радиусом данной окружности