Острый угол параллелограмма равен 30⁰, одна сторона на 4 см больше другой. Если известно, что периметр параллелограмма 92 см, найдите площадь параллелограмма.
Высота призмы - отрезок ОН1 по условию (так как он перпендикулярен основаниям). =>
АВ=ВС=АС=ОН1.
Основания призмы - правильные треугольники. Следовательно, центр основания АВС - точка О лежит на пересечении высот(медиан, биссектрис) этого треугольника.
Проведем высоту СН основания и опустим перпендикуляр С1Р на плоскость, содержащую основание АВС. Точка Р принадлежит продолжению прямой НС, так как РН - проекция С1Н на плоскость, содержащую основание АВС.
Прямоугольные треугольники ОН1Н и РС1С равны по катету С1Р=Н1О и гипотенузе С1С = Н1Н.
=> PC = OH = (1/3)*СН (так как СН - медиана и делится в отношении 2:1, считая от вершины).
СН = (√3/2)*а, где а - сторона треугольника. Пусть сторона основания равна 1. Тогда
Высота, проведённая к основанию, в равнобедренном треугольнике является также и биссектрисой, и медианой. Раз так вышло, что она биссектриса, то получается, что угол 120° она делит пополам. То есть 120° / 2 = 60.
Что ж, у нас получились 2 равных треугольника, рассмотрим правый треугольник.
Один из углов у него 90°, потому что высота. Второй угол у него 60°, потому что биссектриса. Отсюда можно найти третий его угол. Невообразимо сложными вычислениями ( 180 - ( 90 + 60 ) ) можно выяснить что третий угол будет 30°.
Так так, 30 градусов значит... Конечно же, все знают что против угла 30° лежит половина гипотенузы. А что у нас против 30° там? Посмотрим в задаче, ага... 12 см., значит гипотенуза 24 см. А гипотенуза, в данном случае, как раз таки и есть боковая сторона треугольника.
∠CBD = arcsin(3√7/14) ≈ arcsin(0,567) => ∠CBD ≈ 34,6°.
Объяснение:
Высота призмы - отрезок ОН1 по условию (так как он перпендикулярен основаниям). =>
АВ=ВС=АС=ОН1.
Основания призмы - правильные треугольники. Следовательно, центр основания АВС - точка О лежит на пересечении высот(медиан, биссектрис) этого треугольника.
Проведем высоту СН основания и опустим перпендикуляр С1Р на плоскость, содержащую основание АВС. Точка Р принадлежит продолжению прямой НС, так как РН - проекция С1Н на плоскость, содержащую основание АВС.
Прямоугольные треугольники ОН1Н и РС1С равны по катету С1Р=Н1О и гипотенузе С1С = Н1Н.
=> PC = OH = (1/3)*СН (так как СН - медиана и делится в отношении 2:1, считая от вершины).
СН = (√3/2)*а, где а - сторона треугольника. Пусть сторона основания равна 1. Тогда
СН = √3/2, а РН = РС+СН = (1/3)*(√3/2)+√3/2 = 2√3/3.
В прямоугольном треугольнике РС1Н по Пифагору
С1Н = √(С1Р²+РН²) = √(1+12/9) = √21/3.
Прямоугольные треугольники ∆СDН ~ ∆C1PH по острому углу С1НР.
Из подобия: СD/C1P = CH/C1H => CD = CH*C1P/C1H =>
CD = (√3/2)*1/(√21/3) = 3√7/14.
Sin(∠CBD) = CD/CB = 3√7/14.
∠CBD = arcsin(3√7/14) ≈ arcsin(0,567) => ∠CBD ≈ 34,6°.
Раз так вышло, что она биссектриса, то получается, что угол 120° она делит пополам. То есть 120° / 2 = 60.
Что ж, у нас получились 2 равных треугольника, рассмотрим правый треугольник.
Один из углов у него 90°, потому что высота. Второй угол у него 60°, потому что биссектриса. Отсюда можно найти третий его угол. Невообразимо сложными вычислениями ( 180 - ( 90 + 60 ) ) можно выяснить что третий угол будет 30°.
Так так, 30 градусов значит... Конечно же, все знают что против угла 30° лежит половина гипотенузы. А что у нас против 30° там? Посмотрим в задаче, ага... 12 см., значит гипотенуза 24 см.
А гипотенуза, в данном случае, как раз таки и есть боковая сторона треугольника.
ответ: 24.