Острый угол параллелограмма равен 30 градусов, а высоты
проведенные из вершины тупого
угла, равны 4 и 6 см. Найдите
площадь параллелограмма.
(Правильно оформите решение
задачи на листочке и добавьте в
файл)
B
с
6
4​

Обозначим биссектрису СК. Одно из свойств биссектрисы: отношение отрезков, на которые биссектриса делит сторону, противоположную углу, из которого проведена, равно отношению сторон, содержащих этот угол. 

АК:ВК=АС:ВС 

Пусть коэффициент этого отношения а. 

Тогда АК=8а, ВК=6а

Отношение ВС:АС =3:4 - отношение катетов египетского треугольника, поэтому гипотенуза  АВ=10 см

АВ по т.Пифагора АВ также найдем равной 10 см. 

а=АВ:(8+6)=5/7 Отсюда 

АК=8•4/7=40/7

sin A=BC:AB=6:10=0,6 

По т.синусов 

СК/sin∠CAK=AK/sin∠ACK

CK:0,6=40/7):√2/2

CK=48:7√2=24√2):7= ≈4,849 см

-------------

Примечание: для биссектрисы треугольника есть формула. В частности, для прямоугольного треугольника нахождение биссектрисы через катеты  она дана в приложении с рисунком. 

Два угла треугольника равны 40° и 52°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов.

- - -

Дано :

ΔАВС.

∠А = 40°.

∠В = 52°.

ВН₁ и АН₂ - высоты.

Точка О - ортоцентр (точка пересечения высот).

Найти :

∠АОВ = ? (или ∠Н₁ОН₂, не важно, так как они равны как вертикальные).

Решение :

Немного о расположении ортоцентра О :

Для начала найдём ∠С.

По теореме о сумме углов треугольника -

∠А + ∠В + ∠С = 180°

∠С = 180° - ∠А - ∠В

∠С = 180° - 40° - 52°

∠С = 88°.

Так как все углы ΔАВС - острые, то ортоцентр О лежит внутри ΔАВС.

- - -

Рассмотрим ΔСВН₁ - прямоугольный (так как ∠ВН₁С = 90° по определению высоты треугольника).

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Тогда -

∠Н₁СВ + ∠Н₁ВС = 90°

∠Н₁ВС = 90° - ∠Н₁СВ

∠Н₁ВС = 90° - ∠Н₁СВ

∠Н₁ВС = 90° - 88°

∠Н₁ВС = 2°.

Теперь рассмотрим ΔОВН₂ - прямоугольный (так как ∠ОН₂В = 90°).

По выше сказанному -

∠ВОН₂ + ∠ОВН₂ = 90°

∠ВОН₂ = 90° - ∠ОВН₂

∠ВОН₂ = 90° - 2°

∠ВОН₂ = 88°.

- - -

∠ВОН₂ и ∠АОВ - смежные.

Сумма смежных углов равна 180°.

Следовательно -

∠ВОН₂ + ∠АОВ = 180°

∠АОВ = 180° - ∠ВОН₂

∠АОВ = 180° - 88°

∠АОВ = 92°.

ответ :

92°.