Основою прямої призми є прямокутник зі сторонами 8 см і 3 см. Діагональ призми нахилена до площини основи під кутом 30 градусів. Чому дорівнює висота призми

Углы при основании такого треугольника по 45 градусов.
Так как в равнобедренном треугольнике высота проведенная к основанию является и медианой, то гипотенуза делится на 2 равные части.
Рассмотрим один из образовавшихся треугольников:
Угол между высотой и гипотенузой = 90 градусов
Один из углов равен 45 градусам
Следовательно третий угол равен 180-90-45=45 градусов
Поскольку 2 угла в этом треугольнике равны, этот треугольник равнобедренный, следовательно стороны лежащие против равных углов - равны. 
Таким образом высота в таком треугольнике равна половине гипотенузы.

1. 
В трапецию окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. 

a = 2 
b = 8  
c = c  - боковые стороны
2* с = а + b
отсюда с = (a +b) /2
2.
Опустив высоту на большее основание, получим прямоугольный треугольник, в котором 
катет h - высота трапеции
катет (b - a)/2 
гипотенуза с - боковая сторона трапеции 
По теореме Пифагора 
c² = h² + ((b - a) /2)² 
Вместо с подставим с = (a +b) /2 
((а + b)/2)² = h² + ((b - a) /2)²  
Отсюда 
h² = 1/4  ((a + b)² - (a - b)²)  = 1/4(4 * a * b) = ab 
h = √(ab) 
3. 
S = (a + b) * h /2
S = (2 + 8) * √(2*8) /2 = 10 * √16 / 2 = 20
S = 20