Основанием прямой призмы АВСА1B1С1, является прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой АС. Найдите тангенс угла между плоскостью А1В1С1 и плоскостью, проходящей через середину ребра АА1 и прямую ВС, если АВ=4, BB1=12.

Построй трапецию ABCD, где AD-большее основание. Построй две высоты: BE и CH. Смотрим: BE и CH перпенд. AD =>BE парал.CH, BC парал. AD (по опред. трап.)=> BCпарал. BC. Из этого следует, что BCEH - параллелограмм=> 
BE=CH и BC=EH 
Смотрим треуг.ABE и треуг.CDH 
т.к. BE и CH перпенд. AD, то треуг.ABE и треуг.CDH - прямоуг. 
BE=CH 
AB=CD (по усл.) 
треуг.ABE = треуг.CDH (по гип. и катету)=> AE=HD 
Смотрим треуг. ACH 
он прямоуг. , т.к. CH перп. AH 
По т. Пифагора 
AH= корень из (AC^2-CH^2)=8см 
S=(BC+AD)CH/2=(BC+AE+EH+HD)CH/2=2*AH*CH/2=AH*CH=48 см^2

Условие задачи записано неточно. 

Правильно: 

В треугольнике АВС АВ=4, ВС=6, ВD - биссектриса; угол АВС = 45°. Найдите площади треугольников АВD и СВD

a)

 Одна из формул площади треугольника 

S=0,5•a•b•sin α, где а и b - стороны, α – угол между ними. 

S (АВС)=0,5•4•6•√2/2=6√2

б) 

В треугольниках ABD и CBD высоты из В к основаниям совпадают. Площади треугольников с равными высотами относятся как их основания.  

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (свойство) ⇒

АD:DC=AB:CB=2:3 ⇒

 S(∆ ABD):S(∆BCD)=АD:DC=AB:CB=2:3 

S(∆ ABD)+S(∆BCD)=5 частей= 6√2

S(∆ ABD)=(1/5•6√2)•2=2,4√2(ед.площади)

S(∆BCD)=(1/5•6√2)•3=3,6√2 (ед. площади).