.Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Наибольшее боковое ребро равно 8 см и составляет с плоскостью основания угол 45˚. Найдите длины всех ребер пирамиды.
Пусть А, В и С - это вершины треугольника, причем А и В - вершины при основании. Точка пересечения боковых медиан - О. Проведем третью медиану СМ из вершины С, она тоже пройдет через точку О (т.к. все медианы пересекаются в одной точке - эта точка делит каждую медиану в отношении 1:2, т.е. ОМ = СМ/3). В равнобедренном теругольнике медиана, проведенная из вершины, является одновременно и биссектрисой этого угла, и высотой. Основание теугольника известно по условию. Если мы найдем величину высоты СМ, то легко найдем площадь треугольника - S = СМ * АВ /2. Заметим, что треугольник АОВ прямоугольный (по условию, т.к. медианы пересекаются под прямым углом) и равнобедренный ( трегольники АОС и ВОС равны по равенству двух сторон и углов между ними, т.к. АС=ВС по условию, СО - общая сторона и углы АСО и СОВ равны, поскольку СО - биссектриса угла АСВ, следовательно, АО=ОВ). Углы при основании треугольника АОВ равны и составляют 45 градусов каждый. Поэтому треугольник АОМ тоже равнобедренный (угол АМО прямой, а угол ОАМ 45 градусов, значит, и угол АОМ тоже 45 градусов). Следовательно, АМ=ОМ (как стороны равнобедренного треугольника АОМ). АМ равна половине основания АВ (т.к. СМ - медиана), следовательно ОМ =2. Полная длина медианы СМ=ОМ * 3 = 6. S = СМ * АВ /2 = 6 * 4 / 2 = 12.
Что-то не так. Во-первых, опечатка - не призма, а пирамида. Во-вторых, она должна быть 4-угольной, потому что 4 угла куба не могут лежать на трех апофемах треугольной пирамиды. Значит, считаем, что это 4-угольная правильная пирамида. В основании квадрат. В пирамиду вписан куб так, что 4 нижних вершины лежат на основании, а 4 верхних на апофемах (высоты боковых граней). Я сделал рисунок. Там много линий, и чтобы разобраться, я нарисовал апофемы красным, куб синим, а высоту пирамиды жирным черным. Нижние вершины куба лежат на средних линиях основания KM и LN. Справа я нарисовал сечение пирамиды плоскостью SLN. В сечении будет равнобедренный треугольник, а в него вписан прямоугольник PRR1P1, у которого высота PP1 = RR1 = x - стороне куба, а основание PR = P1R1 = x√2 - диагонали грани куба. Теперь решаем задачу. Сторона основания пирамиды а, диагональ AC = BD = a√2, OC = a√2/2, угол наклона бокового ребра α. В треугольнике AOS катет OS=H=AO*tg α=a*√2/2*tg α. В треугольнике LOS катет OL = a/2, по теореме Пифагора SL^2 = OL^2 + OS^2 = a^2/4 + a^2/2*tg α = a^2/4*(1 + 2tg α) SL = a/2*√(1 + 2tg α) Угол наклона апофемы к плоскости основания OLS = β: tg β = OS/OL = (a*√2/2*tg α) : (a/2) = √2*tg α В треугольнике RR1L катет RL = RR1/tg β = x/(√2*tg α) = x√2/(2tg α) Но мы знаем, что PR = x√2 и NP = RL. Получаем NL = NP + PR + RL a = 2*x√2/(2tg α) + x√2 = x√2/tg α + x√2
Проведем третью медиану СМ из вершины С, она тоже пройдет через точку О (т.к. все медианы пересекаются в одной точке - эта точка делит каждую медиану в отношении 1:2, т.е. ОМ = СМ/3).
В равнобедренном теругольнике медиана, проведенная из вершины, является одновременно и биссектрисой этого угла, и высотой. Основание теугольника известно по условию. Если мы найдем величину высоты СМ, то легко найдем площадь треугольника - S = СМ * АВ /2.
Заметим, что треугольник АОВ прямоугольный (по условию, т.к. медианы пересекаются под прямым углом) и равнобедренный ( трегольники АОС и ВОС равны по равенству двух сторон и углов между ними, т.к. АС=ВС по условию, СО - общая сторона и углы АСО и СОВ равны, поскольку СО - биссектриса угла АСВ, следовательно, АО=ОВ).
Углы при основании треугольника АОВ равны и составляют 45 градусов каждый. Поэтому треугольник АОМ тоже равнобедренный (угол АМО прямой, а угол ОАМ 45 градусов, значит, и угол АОМ тоже 45 градусов). Следовательно, АМ=ОМ (как стороны равнобедренного треугольника АОМ).
АМ равна половине основания АВ (т.к. СМ - медиана), следовательно ОМ =2. Полная длина медианы СМ=ОМ * 3 = 6.
S = СМ * АВ /2 = 6 * 4 / 2 = 12.
Во-вторых, она должна быть 4-угольной, потому что 4 угла куба не могут лежать на трех апофемах треугольной пирамиды.
Значит, считаем, что это 4-угольная правильная пирамида.
В основании квадрат. В пирамиду вписан куб так, что 4 нижних вершины лежат на основании, а 4 верхних на апофемах (высоты боковых граней).
Я сделал рисунок. Там много линий, и чтобы разобраться, я нарисовал апофемы красным, куб синим, а высоту пирамиды жирным черным.
Нижние вершины куба лежат на средних линиях основания KM и LN.
Справа я нарисовал сечение пирамиды плоскостью SLN.
В сечении будет равнобедренный треугольник, а в него вписан прямоугольник PRR1P1, у которого высота PP1 = RR1 = x - стороне куба,
а основание PR = P1R1 = x√2 - диагонали грани куба.
Теперь решаем задачу.
Сторона основания пирамиды а, диагональ AC = BD = a√2,
OC = a√2/2, угол наклона бокового ребра α.
В треугольнике AOS катет OS=H=AO*tg α=a*√2/2*tg α.
В треугольнике LOS катет OL = a/2, по теореме Пифагора
SL^2 = OL^2 + OS^2 = a^2/4 + a^2/2*tg α = a^2/4*(1 + 2tg α)
SL = a/2*√(1 + 2tg α)
Угол наклона апофемы к плоскости основания OLS = β:
tg β = OS/OL = (a*√2/2*tg α) : (a/2) = √2*tg α
В треугольнике RR1L катет
RL = RR1/tg β = x/(√2*tg α) = x√2/(2tg α)
Но мы знаем, что PR = x√2 и NP = RL. Получаем
NL = NP + PR + RL
a = 2*x√2/(2tg α) + x√2 = x√2/tg α + x√2