Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого основание равно 6см и высота 9 см, боковые ребра равны между собой, и каждое содержит 13 см. найти высоту этой пирамиды.

Боковые ребра пирамиды равны => проекции боковых ребер на основание равны => основание высоты пирамиды H = центр описанной окружности радиуса R.
Из равнобедренного треуг.-основания получим: высота основания=9, она же медиана, из прямоугольного треуг (гипотенуза=R, катет=6/2=3, второй катет=9-R) по т.Пифагора

(9-R)^2 + 3*3 = R^2

9*9 - 18R +R^2 + 3*3 - R^2 = 0

18R = 81+9

R = 90/18 = 5

Из прямоугольного треуг. (гипотенуза=боковое ребро=13, катет=Н пирамиды, второй катет=R) по т.Пифагора H^2 = 13*13 - R^2 = 13*13 - 5*5 = (13-5)*(13+5) = 8*18 = 4*2*2*9

H = 4*3 = 12

Боковые ребра пирамиды равны => проекции боковых ребер на основание равны

ЭТО утверждение верно , если в основании лежит РАВНОСТОРОННИЙ треугольник и вершина проецируется в его ЦЕНТР. Но по условию Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник

В пирамиде ребра b=13 см

В равнобедренном треугольнике 

- высота h= 9 см

- основание/сторона  a=6 м

Боковая грань, которая опирается на сторону ( а) –это равнобедренный треугольник.

Апофема  этой боковой грани по теореме Пифагора   

A^2=b^2-(a/2)^2 =13^2-(6/2)^2=160 ;  A=4 √10 см

Апофема(А)+противоположное ребро(b)+высота основания(h) – образуют

треугольник(Abh) с вершиной , совпадающей с вершиной пирамиды.

В треугольнике(Abh) :

Перпендикуляр из вершины пирамиды  на высоту основания(h)  – это высота

пирамиды (Н).

Угол <A между (h)  и (b)  напротив апофемы (А).

По теореме косинусов A^2 = h^2+b^2 -2*h*b*cos<A

Cos<A = (h^2+b^2 –A^2) / (2*h*b)= (13^2+9^2 - 160) / (2*13*9)=5/13

Тогда  sin<A = √ (1-(cos<A)^2) =√ (1-(5/13)^2)=12/13

Площадь треугольника(Abh) можно посчитать ДВУМЯ

S ∆ = 1/2* H*h

S ∆ = 1/2* b*h*sin<A

Приравняем правые части

1/2* H*h = 1/2* b*h*sin<A

H = b*sin<A = 13*12/13 =12 см

ответ  12 см