Основанием пирамиды с равными боковыми ребрами является прямоугольник со сторонами 6дм и 8дм. высота пирамиды 6дм. найдите площадь сечения, проведенного через меньшую сторону и середину высоты.
Боковые ребра равны => вершина S проецируется в точку О - точку пересечения диагоналей прямоугольника АВСD. Построим сечение. Для начала найдем середины боковых ребер пирамиды и через них проведем прямые, параллельные сторонам основания (в соответствующих гранях). Получили сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Через середину J высоты SO проведем прямую параллельно прямой DC (меньшая сторона основания) и в точках пересечения этой прямой с прямыми полученного сечения на боковых гранях ASD и BSC получим точки К и Р. Проведя через эти точки прямые DK и СР до их пересечения с ребрами AS и BS в точках M и N соответственно, получим искомое сечение - равнобокую трапецию DMNC (MN||AB и MN||DC в силу параллельности грани ASB прямой КР - АВ||КР). Рассмотрим ΔЕSO и секущую FH. По теореме Менелая (EF/FS)*(SJ/JO)*(OH/HE)=1. Подставив известные значения, получим: (EF/FS)*(3/3)*(4/8)=1. Отсюда EF/FS =2/1. => SF/SE=1/3. В подобных треугольниках EFG и ESO: EF/ES=GE/SO=2/3. GF=SO*(2/3)=6*2/3 =4дм. В подобных треугольниках GFH и OJH: GE/OJ=FH/JH=4/3. FH=JH*(4/3)=5*4/3 =20/3. В подобных треугольниках ASB и MSN: SE/SF=AB/MN=1/3. Значит MN=AB*(1/3)=6/3=2дм. Площадь трапеции DMNC=(DC+MN)*FH/2=8*20/(3*2)=26и2/3 дм².
Построим сечение.
Для начала найдем середины боковых ребер пирамиды и через них проведем прямые, параллельные сторонам основания (в соответствующих гранях). Получили сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Через середину J высоты SO проведем прямую параллельно прямой DC (меньшая сторона основания) и в точках пересечения этой прямой с прямыми полученного сечения на боковых гранях ASD и BSC получим точки К и Р. Проведя через эти точки прямые DK и СР до их пересечения с ребрами AS и BS в точках M и N соответственно, получим искомое сечение - равнобокую трапецию DMNC (MN||AB и MN||DC в силу параллельности грани ASB прямой КР - АВ||КР).
Рассмотрим ΔЕSO и секущую FH.
По теореме Менелая (EF/FS)*(SJ/JO)*(OH/HE)=1.
Подставив известные значения, получим:
(EF/FS)*(3/3)*(4/8)=1. Отсюда
EF/FS =2/1. => SF/SE=1/3.
В подобных треугольниках EFG и ESO:
EF/ES=GE/SO=2/3. GF=SO*(2/3)=6*2/3 =4дм.
В подобных треугольниках GFH и OJH:
GE/OJ=FH/JH=4/3. FH=JH*(4/3)=5*4/3 =20/3.
В подобных треугольниках ASB и MSN:
SE/SF=AB/MN=1/3. Значит MN=AB*(1/3)=6/3=2дм.
Площадь трапеции DMNC=(DC+MN)*FH/2=8*20/(3*2)=26и2/3 дм².