Основанием наклонного параллелепипеда параллелограмм ABCD, в котором AB = 3AM AD = 7AM, BD = = 6 дм. Диагональное сечение АА,С,С перпендикулярно к плос кости основания, его площадь равна 1 м². Определите объем па раллелепипеда.

Пусть сторона основания а = 3,8, боковое ребро L = 5,9.

Площадь основания So = a²√3/4 = 3,8²√3/4 = 3,61√3 ≈ 6,2527 кв.ед.

В правильной треугольной пирамиде проекция бокового ребра на основание равна 2/3 высоты основания h.

(2/3)h = (2/3)*a*cos 30° = (2*3,8*√3)/(3*2) = (3,8*√3)/3 ≈ 2,19393.

Отсюда можно найти высоту пирамиды  Н:

Н = √(L² - (2h/3)²) = √(5,9² - ((3,8*√3)/3)²) = √(34,81 - 4,8133) = √29,9967

≈ 5,47692.

Апофема А боковой грани равна:

A = √(H² + (h/3)²) = √(29,9967 + ((3,8*√3)/6)²) = √31,2  ≈ 5,5857.

Площадь боковой поверхности Sбок = (1/2)АР, где Р - периметр основания.

Sбок = (1/2)*(√31,2)*(3*3,8) = 5,7√31,2 ≈ 31,8385 кв.ед.

Площадь поверхности S равна:

S = So +Sбок = (3,61√3) + (5,7√31,2) ≈ 38,0912  кв.ед.

Объём V пирамиды равен:

V = (1/3)SoH = (1/3)* (3,61√3)*5,47692 ≈ 11,4152  куб.ед.

Боковая грань перпендикулярная основанию - равнобедренный треугольник с высотой Н = 12 см - высота пирамиды и разбивает грань на два прямоугольных треугольника с катетом Н = 12 см и острым углом 60

В прямоугольном треугольнике  с катетом 12 см и противолежащим углом
tg 60 = 

a = 

a =  = 4√3 - половина стороны основания равностороннего треугольника

Площадь правильного  треугольника (основания) со стороной 2а = 2 * 4√3   = 8 * 4√3 и высотой 
h =  = √144 = 12

S =  *  8√3 * 12 = 48√3 см²

 Объем пирамиды с высотой H = 12 см и площадью основания S = 48√3 см²

V = S * H = 48√3 * 12 = 576√3 (см³)