Основание пирамиды является треугольник со сторонами 12 см 10 см 10 см. каждая боковая грань наклоненена к плоскости основании под углом 45 градусов. найти площадь полной поверхности .

Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под  одним углом, то проекции высот этих граней равны радиусу вписанной в основание пирамиды окружности

ОН=ОК=ОЕ=r и, следовательно, высоты всех боковых граней равны.  

r=2S (ABC):P

P=12+2•10=32

S=BH•AC:2=8•12:2=48 см²

2Ѕ=96 см²

∆ ABC - равнобедренный, его высота - медиана. 

АН=СН=6 см

По т.Пифагора высота равнобедренного треугольника 

ВH=√(ВС²-СН²)=√(100-36)=8 см

r=8•12:32=3 см 

ВН⊥АС, 

МН по т. о 3-х перпендикулярах перпендикулярен АС и является высотой боковой грани МАС. 

МК=МН.

Из прямоугольного  ∆ МОН  отрезок МН=ОН:cosМНО=3:√2/2=3√2

S(бок)=МН•Р:2=48√2

S (полн)=Ѕ (АВС)+Ѕ(бок)=48+48√2=48(1+√2) см²