Основание пирамиды – прямоугольник с углом между диагоналями 120°. Все боковые рёбра пирамиды равны 3 см и наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите объём пирамиды.

Объяснение:

Дано: ΔАВС

АЕ, ВМ, СК - биссектрисы;

∠AOB = ∠ ВОС = 110°.

а) Доказать: ΔАВС - равнобедренный;

б) Найти: ∠А; ∠В; ∠С.

а) Доказательство:

Рассмотрим ΔАОВ и ΔВОС.

∠1=∠2 (условие)

∠AOB = ∠ ВОС (условие)

ВО - общая

⇒ ΔАОВ = ΔВОС (по 2 признаку)

⇒ АВ=ВС (как соответственные элементы)

⇒ ΔАВС - равнобедренный.

б) Решение:

1) ΔАОВ = ΔВОС ⇒АО=ОС (как соответственные элементы)

2) Рассмотрим ΔАОС (равнобедренный, п.1)

⇒ ∠4=∠6 (углы при основании равнобедренного треугольника  равны)

∠АОС=360°-(∠AOB + ∠ ВОС)=360°-(110°+110°)=140°

Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠4=∠6=(180°-140°):2=20°

3) ∠3=∠4 (условие)

⇒∠А=∠3+∠4=20°+20°=40°

4) ∠А=∠С=40° (при основании равнобедренного ΔАВС)

∠В=180°-(40°+40°)=100°

Раз периметр ромба равен 16 см, то каждая его сторона равна 16:4=4 см. Точкой пересечения диагоналей получаем прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является сторона ромба, равная 4 см, а также катет, равный половине данной длины нашей диагонали, т.е. один из катетов равен 3√4:2=6:2=3.
По теореме Пифагора находим второй катет: 4^2-3^2=7. Второй катет равен √7.
Тут по таблице Брадиса я только примерно могу назвать градусную меру углов.
Возьмём синус угла, напротив которого лежит половина нашей диагонали. Он будет равен 3:4=0,75. Градусная мера угла(примерно!) равна 49 градусов.
Тогда градусная мера другого угла примерно будет равна 180-90-49=41 градус.
Т.к. проведённые диагонали ромба являются и биссектрисами его углов, то градусная мера двух углов будет равна 98-ми градусам(лежащим напротив друг друга), а градусная мера других двух углов будет равна 82 градусам.
Чтобы удостовериться, что данные расчёты в теории правильны, сложим эти углы(должно получиться 360 градусов)=82^2+98^2=360.
ответ:Градусная мера острых углов ромба равна 82-ум градусам, а тупых 98-ми.