Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6√3.
Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей.
––––––––––––––
Обозначим O и O1 центры окружностей радиусов r и 3r соответствено.
Пусть AК и ВМ – общие внешняя касательные этих окружностей (точки A и В лежат на меньшей окружности, К и М– на большей). Соединим точки касания и радиусы соответственных окружностей.
Из О проведем перпендикуляр ОН к КО1.
АКНО – прямоугольник.
В ⊿ ОНО1 катет ОН=АК=6√3; катет НО1=2r, гипотенуза ОО1=r+3r=4r
Катет О1Н рпвен половине гипотенузы ОО1, следовательно,
∠ НОО1=30º, ∠ НО1=60º, и длина ОО1=ОН:sin 60º
4r=ОО1=6√3):(√3/2)=12
r=12:4=3
О1К=3r=9
Искомый периметр - сумма: ◡АВ -меньшей окружности, ◡КМ - большей окружности и длин АК и ВМ двух общих касательных.
∠АОО1=О1ОВ=∠АОН+∠НОО1=90°+30°=120°
◡АВ содержит угол АОВ=120º и равна 1/3 длины С меньшей окружности
С=2πr=6π
◡АВ=2π
∠КО1М=2∠КО1О=120°
меньшая ◡КМ внутри фигуры=1/3 длины окружности, большая
◡КМ =2/3 длины С1 большей окружности
С1=2π•9=18p
◡КМ=12π
Периметр равен сумме найденных длин дуг и длин двух общих внешних касательных.
Відповідь:
∠1=∠3=60° - внутрішні односторонні кути.
∠1+∠2=∠4+∠3=180° - суміжні кути, їх сума дорівнює 180°.
∠2= 180°-∠1= 180°-60°=120°.
∠2=∠4=120° - внутрішні різноссторонні кути є рівними.
∠1=∠8= 60° - відповідні кути є рівними.
∠2=∠7= 120° - відповідні кути.
∠1+∠5 = 180° - суміжні кути.
∠5= 180°-∠1 =180°-60° = 120°.
∠1 = ∠6 = 60° - вертикальні кути є рівними.
Отже, ∠1=60°, ∠2=120°, ∠3=60°, ∠4=120°, ∠5=120°, ∠6=60°, ∠7=120°, ∠8=60°.
Сподіваюсь, все зрозуміло. Я спробував використати всі формули до цього малюнку.
Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6√3.
Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей.
––––––––––––––
Обозначим O и O1 центры окружностей радиусов r и 3r соответствено.
Пусть AК и ВМ – общие внешняя касательные этих окружностей (точки A и В лежат на меньшей окружности, К и М– на большей). Соединим точки касания и радиусы соответственных окружностей.
Из О проведем перпендикуляр ОН к КО1.
АКНО – прямоугольник.
В ⊿ ОНО1 катет ОН=АК=6√3; катет НО1=2r, гипотенуза ОО1=r+3r=4r
Катет О1Н рпвен половине гипотенузы ОО1, следовательно,
∠ НОО1=30º, ∠ НО1=60º, и длина ОО1=ОН:sin 60º
4r=ОО1=6√3):(√3/2)=12
r=12:4=3
О1К=3r=9
Искомый периметр - сумма: ◡АВ -меньшей окружности, ◡КМ - большей окружности и длин АК и ВМ двух общих касательных.
∠АОО1=О1ОВ=∠АОН+∠НОО1=90°+30°=120°
◡АВ содержит угол АОВ=120º и равна 1/3 длины С меньшей окружности
С=2πr=6π
◡АВ=2π
∠КО1М=2∠КО1О=120°
меньшая ◡КМ внутри фигуры=1/3 длины окружности, большая
◡КМ =2/3 длины С1 большей окружности
С1=2π•9=18p
◡КМ=12π
Периметр равен сумме найденных длин дуг и длин двух общих внешних касательных.
Р=2π+12π+2•6√3=14π+12√3