Определите, сколько пар равных треугольников
6.
имеется на рисунке
​

ответ: 1,6 см;  3,6 см; 5,2 см.

Объяснение:

   Назовём треугольник АВС; угол С=90°, АС:СВ=3:2, АН=ВН+2.

Примем ВН=х, АН=х+2.

Каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу: ⇒

АС²=АВ•АН=(х+х+2)•(х+2)=2•(х+1)•(х+2)

ВС²=АВ•ВН=(х+х+2)•х=2•(х+1)•х

По условию АС:ВС=3:2 => АС²:ВС²=3²:2²= 9:4

Подставим найденные выше значения катетов в пропорцию:

2•(х+1)•(х+2):2•(х+1)•х=9:4⇒

(х+2):х=9:4

5х=8 ⇒

BH=х=1,6

AН=1,6+2=3,6 см

АВ=2х+2=5,2 см

АС=√(5,2•3,6)=6√52

BC=√(5,5•1,6)=4√52

Окружность проведена через А, следовательно, А лежит на окружности. 

АВ и АD - равные стороны вписанного угла ВАD, поэтому его биссектриса АС проходит через центр окружности и  является её диаметром . 

∠АВС=∠АDC=90°- опираются на диаметр. 

Треугольники АВС и АBD равны по катету и гипотенузе,  поэтому площадь каждого равна половине площади четырехугольника АВСD - равна 1,5√3

Площадь прямоугольного  треугольника  равна половине произведения его катетов. 

S ∆ АВС=АВ•BC:2

BC=2S:AB=3√3):3=√3

ВС:АВ=tg∠ВАС

tg∠BAC=√3):3=1:√3. Это тангенс угла 30°. 

Тогда, так как ∠ВАС=∠DAC, угол ВАD=60°              

* * * 

Если А - центр окружности, результат будет тот же, но решение немного другим Тогда АВ=АС=AD=R

AB+AD=6  AB=AD=AC=6:2=3⇒ R=3

АС - биссектриса. ∠ВАС=∠DAC⇒∆ ABC=∆ ADC  по 1 признаку равенства треугольников. 

S∆ ВАС=S∆DAC= S ABCD:2

sin BAC=2•SBAC:AB²⇒

sin BAC=3√3):9=√3:3=1/√3  - это синус 30°

Тогда, т.к. АС биссектриса, угол ВАD=60° Это ответ. 

----------