Определить угол между векторами АВ и СD, если А (1; -3; -4), В (-1; 0; 2), С (2; -4; -6), D (1; 1; 1).

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.
В нашем случае из одной точки А, лежащей на большей окружности проведена касательная АМ к меньшей окружности и секущая АВ, проходящая через общий центр О (окружности концентрические). Точка касания М делит хорду пополам значит АМ=10см. Тогда 10² = (R+r)*(R-r). Или 100=R^2-r^2. Но r = (2/3)*R. Подставляем и имеем 100=(5/9)*R^2.
Отсюда R = 6√5см, а r = 4√5см.

Или так: из прямоугольного треугольника ОМА по Пифагору имеем:
ОА^2-ОМ^2=АМ^2 или
R^2-r^2=100 или
(5/9)*R=100 
Отсюда R=6√5см. r=4√5 см.

Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника - это отрезки, на которые высота из прямого угла делит гипотенузу. 
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. 
Отсюда h² =12*3=36
h=6
По теореме Пифагора из треугольников, на которые высота разделила исходный треугольник, найти катеты  сложности не представляет.
 Меньший катет равен 3√5,
больший - 6√5
Проверка: 
Квадрат гипотенузы равен (3√5)²+ (6√5)²=225
Гипотенуза равна √225=15, что соответствует условию задачи.