Разобьем задачу на две. Сначала определим угол между плоскостями основания α и сечения β. Проведем из точки В перпендикуляр к плоскости β. (Рис.1) Как мы знаем, из точки на плоскость можно опустить лишь один перпендикуляр. Опустим перпендикуляр из точки В на линию пересечения плоскостей (эта линия параллельна стороне АВ). Нам дан угол между прямой АВ и плоскостью β. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Проекцией прямой АВ на плоскость β является катет АВ1 прямоугольного треугольника АВ1В с прямым углом АВ1В и углом ВАВ1=π/6=30°(дано) между катетом АВ1 и гипотенузой АВ. Катет ВВ1 лежит против угла 30°, значит он равен половине гипотенузы АВ. То есть ВВ1=5/(2√3). В прямоугольном треугольнике ВВ1А1 с прямым углом ВВ1А1 гипотенузой является прямая А1В, перпендикулярная прямой АА1, то есть параллельная прямой АН и равной ей, как противоположной стороне прямоугольника АА1В1Н. АН - высота равностороннего треугольника АВС и по формуле равна АН=(а√З)/2, где а - ребро пирамиды, то есть равна (5/√З)*√З/2=5/2. В прямоугольном треугольнике ВВ1А1 синус угла ВА1В1 равен отношению противолежащего катета ВВ1 к гипотенузе А1В. Имеем: Sin(ВА1В1)= [5/(2√3)]/5/2=1/√3. Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Следовательно, угол ВА1В1 и есть искомый угол между плоскостями α и β, а его синус равен 1/√3.
Перейдем ко второй части решения. Найдем площадь сечения пирамиды SABC плоскостью β, наклоненной к плоскости основания под углом arcsin(1/√3). (Рис.2) В равностороннем треугольнике (коими являются ВСЕ грани нашей пирамиды) высота равна а*√З/2, где а - ребро пирамиды то есть равна 5/2.Значит АН=SH=5/2. Опустим перпендикуляр НК к плоскости сечения β. Он равен найденному ранее расстоянию от точки В до этой плоскости, так как прямая ВС параллельна плоскости β и значит все точки этой прямой равноудалены от плоскости β. Следовательно, НК=(1/2)*АВ=5/2√З. Кстати, заметим, что отрезок АР, проходящий через точку К, является высотой и медианой треугольника сечения AEF. Рассмотрим прямоугольные треугольники SOH SO- высота пирамиды) и АНК. Cos(<SHA)=OH/SH, где ОН=(1/3)SН (по свойству высоты-медианы равностороннего треугольника), а SH=5/2. Значит Cos(<SHA)=1/3. Sin(<KAH)=1/√З. (<KAH это найденный ранее угол наклона секущей плоскости к плоскости основания). Ну, а дальше тригонометрия: если Cos(<SHA)=1/3, то Sin(<SHA)=√(1-1/9)=2√2/3, а если Sin(<KAH)=1/√З, то Cos(<КАН)=√(1-1/3)=√(2/3). По теореме синусов в треугольнике АРН имеем: АР/Sin(<SHA)=AH/Sin(<APH) и РН/Sin(<KAH)=AH/Sin(<APH). Но Sin(<APH)=Sin(180-(<PAH+<SHA)=Sin(<PAH+<SHA). По известной формуле тригонометрии: Sin(α+β)=sinβ*cosα+cosβ*sinα. У нас Sin(<PAH+<SHA) =(2√2/3)*√(2/3)+(1/√З)*(1/√З)=5/(3√З). Тогда АР=AH*Sin(<SHA)/Sin(<APH)=(5/2)*(2√2/3)/(5/(3√З))=√6. РН=AH*Sin(<РАН)Sin(<APH)=(5/2)*(1/√З)/(5/(3√З))=3/2. Апофема SH=SР+РН, отсюда SP=5/2-3/2=1. Треугольники SВН и SEP подобны. Тогда ЕР/ВН=SP/SH, отсюда ЕР=SP*ВН/SH = 1*(5/2√З):(5/2)=1/√З. Искомая площадь равна Saef=AP*EP=(√6)*1/(√З)=√2 ед². ответ: площадь сечения Saef= √2 ед².
Объяснение:
Дана правильная треугольная пирамида. Её высота Н равна a√3, радиус окружности, описанной около её основания, равен 2a.
Найти: а) апофему А пирамиды.
Радиус R окружности, описанной около её основания, равен 2/3 высоты основания, то есть R = в√3/3, где в - сторона основания.
Находим сторону основания: в = R/(√3/3) = R√3 = 2a√3.
Отсюда апофема равна: А = √(Н² + (R/2)²) = √(3a² + a²) = √4a² = 2a.
Величина R/2 равна 1/3 высоты основания или радиусу вписанной окружности в основание.
б) угол α между боковой гранью и основанием равен:
α = arc tg(H/(R/2)) = arc tg(a√3/a) = arc tg√3 = 60 градусов.
в) площадь Sбок боковой поверхности.
Периметр основания Р = 3в = 3*2a√3 = 6a√3.
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*(6a√3)*2а = 6a²√3 кв.ед.
г) плоский угол γ при вершине пирамиды(угол боковой грани).
γ = 2arc tg((в/2)/А) = 2arc tg((2а√3/2)/2а) = 2arc tg(√3/2) ≈ 1,42745 радиан или 81,7868 градуса.
Сначала определим угол между плоскостями основания α и сечения β. Проведем из точки В перпендикуляр к плоскости β. (Рис.1) Как мы знаем, из точки на плоскость можно опустить лишь один перпендикуляр. Опустим перпендикуляр из точки В на линию пересечения плоскостей (эта линия параллельна стороне АВ). Нам дан угол между прямой АВ и плоскостью β. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Проекцией прямой АВ на плоскость β является катет АВ1 прямоугольного треугольника АВ1В с прямым углом АВ1В и углом ВАВ1=π/6=30°(дано) между катетом АВ1 и гипотенузой АВ. Катет ВВ1 лежит против угла 30°, значит он равен половине гипотенузы АВ. То есть ВВ1=5/(2√3).
В прямоугольном треугольнике ВВ1А1 с прямым углом ВВ1А1 гипотенузой является прямая А1В, перпендикулярная прямой АА1, то есть параллельная прямой АН и равной ей, как противоположной стороне прямоугольника АА1В1Н. АН - высота равностороннего треугольника АВС и по формуле равна АН=(а√З)/2, где а - ребро пирамиды, то есть равна (5/√З)*√З/2=5/2.
В прямоугольном треугольнике ВВ1А1 синус угла ВА1В1 равен отношению противолежащего катета ВВ1 к гипотенузе А1В. Имеем: Sin(ВА1В1)= [5/(2√3)]/5/2=1/√3.
Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Следовательно, угол ВА1В1 и есть искомый угол между плоскостями α и β, а его синус равен 1/√3.
Перейдем ко второй части решения. Найдем площадь сечения пирамиды SABC плоскостью β, наклоненной к плоскости основания под углом arcsin(1/√3). (Рис.2)
В равностороннем треугольнике (коими являются ВСЕ грани нашей пирамиды) высота равна а*√З/2, где а - ребро пирамиды то есть равна 5/2.Значит АН=SH=5/2.
Опустим перпендикуляр НК к плоскости сечения β. Он равен найденному ранее расстоянию от точки В до этой плоскости, так как прямая ВС параллельна плоскости β и значит все точки этой прямой равноудалены от плоскости β.
Следовательно, НК=(1/2)*АВ=5/2√З. Кстати, заметим, что отрезок АР, проходящий через точку К, является высотой и медианой треугольника сечения AEF.
Рассмотрим прямоугольные треугольники SOH SO- высота пирамиды) и АНК.
Cos(<SHA)=OH/SH, где ОН=(1/3)SН (по свойству высоты-медианы равностороннего треугольника), а SH=5/2.
Значит Cos(<SHA)=1/3. Sin(<KAH)=1/√З. (<KAH это найденный ранее угол наклона секущей плоскости к плоскости основания).
Ну, а дальше тригонометрия: если Cos(<SHA)=1/3, то Sin(<SHA)=√(1-1/9)=2√2/3, а если Sin(<KAH)=1/√З, то Cos(<КАН)=√(1-1/3)=√(2/3).
По теореме синусов в треугольнике АРН имеем:
АР/Sin(<SHA)=AH/Sin(<APH) и РН/Sin(<KAH)=AH/Sin(<APH).
Но Sin(<APH)=Sin(180-(<PAH+<SHA)=Sin(<PAH+<SHA). По известной формуле тригонометрии: Sin(α+β)=sinβ*cosα+cosβ*sinα.
У нас Sin(<PAH+<SHA) =(2√2/3)*√(2/3)+(1/√З)*(1/√З)=5/(3√З).
Тогда АР=AH*Sin(<SHA)/Sin(<APH)=(5/2)*(2√2/3)/(5/(3√З))=√6.
РН=AH*Sin(<РАН)Sin(<APH)=(5/2)*(1/√З)/(5/(3√З))=3/2.
Апофема SH=SР+РН, отсюда SP=5/2-3/2=1. Треугольники SВН и SEP подобны. Тогда ЕР/ВН=SP/SH, отсюда
ЕР=SP*ВН/SH = 1*(5/2√З):(5/2)=1/√З.
Искомая площадь равна Saef=AP*EP=(√6)*1/(√З)=√2 ед².
ответ: площадь сечения Saef= √2 ед².