Окружность разделена точками A, B, C, D так, что градусные меры дуг AD, BC, CD, DA отнрсятся как 3:5:4:6. Хордв AD и BC продолжены до пересеченияв точке M. Найдите угол AMB.
1) Выполните чертеж окружности
2) отметьте двнные точки
3) проведите хорды
4) рассмотрите угол AMB как угол, образованный (продолжите вариант решения ЗАРАНИЕ

CosA = 4/√42 ≈ 0,617.

CosB = 2/√30 ≈ 0,365.

CosC = 3/√35  ≈ 0,51.

Объяснение:

Если надо найти КОСИНУСЫ углов, то решение:

CosA = (Xab·Xac+Yab·Yac+Zab·Zac)/(|AB|·|AC|). (формула).

Координаты вектора AB = (0-2;1-(-1);3-1) = (-2;2;2).

Модуль АВ равен |AB| =√((-2)²+2²+2²) = 2√3.

Координаты вектора AC = (-1-2;1-(-1);0-1) = (-3;2;-1).

Модуль АC равен |AC| =√((-3)²+2²+(-1)²) = √14.  

CosA =(6+4-2)/(√(12·14) = 8/(2√42) = 4/√42 ≈ 0,617.

∠A ≈ 52°

Аналогично:

CosВ = (Xba·Xbc+Yba·Ybc+Zba·Zbc)/(|BA|·|BC|).

Координаты вектора BA = (2-0;-1-1);1-3) = (2;-2;-2).

Модуль ВA равен |BA| = 2√3.

Координаты вектора BC =(-1-0;1-1);0-3) = (-1;0;-3).

Модуль BC равен |BC| =√((-3)²+2²+(-1)²) = √10.

CosB =(-2+0+6)/(√(12·10) = 4/(2√30) = 2/√30 ≈ 0,365.

∠B ≈ 69° .

CosC = (Xca·Xcb+Yca·Ycb+Zca·Zcb)/(|CA|·|CB|).

Координаты вектора CA = (-1-2;1-(-1);0-3) = (3;-2;1).

Модуль CA равен |CA| = √14.

Координаты вектора CB =(0-(-1);1-1);3-0) = (1;0;3).

Модуль BC равен |CB| =√(1²+0²+3)²) = √10.

CosC =(3+0+3)/(√(14·10) = 6/(2√35) = 3/√35  ≈ 0,51.

∠C ≈ 59°.

Проверка: ∠А +∠В +∠С = 52° + 69° +59° = 180°.

 Достаточно доказать, что RPTQ – равнобокая трапеция. Четырёхугольник ARDQ – вписанный, поэтому  ∠RQD = ∠DAR.  Также, поскольку четырёхугольник ABCD  – вписанный, то  ∠BCD = 180° – ∠DAR.  Cледовательно,  ∠RQD + ∠BCD = 180°,  то есть прямые PT и RQ параллельны.

  Докажем теперь, что в трапеции RPTQ диагонали равны. Четырёхугольник APCQ вписан в окружность с диаметром AC, поэтому 
PQ = AC·sin∠BCD.  Aналогично,  RT = BD·sin∠ABC.  Но из вписанности четырёхугольника ABCD следует, что 
   Значит,  PQ = RT,  то есть трапеция – равнобокая.