Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ . Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказательство: Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) . Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках: АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁. Сравним полученную пропорцию с данной в условии: АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ Значит, АВ₂ = АВ. Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию). Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказано.
1) Верно, окружность - геометрическая фигура однозначно; 2) Неверно, касательной называется прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку, если точек две - имеем дело с хордой; 3) Верно, центр вписанной окружности равноудалён от сторон треугольника - все точки равноудалённые от сторон угла принадлежат биссектрисе угла, место пересечения биссектрис равноудалено от всех сторон треугольника - значит центр вписанной окружности; 4) Верно, здесь небольшая логическая ловушка: описанная окружность обязательно проходит через все три вершины треугольника, утверждение "хотя бы две" является включением в первое высказывание - тоже истинно. ответ: 134.
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.
2) Неверно, касательной называется прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку, если точек две - имеем дело с хордой;
3) Верно, центр вписанной окружности равноудалён от сторон треугольника - все точки равноудалённые от сторон угла принадлежат биссектрисе угла, место пересечения биссектрис равноудалено от всех сторон треугольника - значит центр вписанной окружности;
4) Верно, здесь небольшая логическая ловушка: описанная окружность обязательно проходит через все три вершины треугольника, утверждение "хотя бы две" является включением в первое высказывание - тоже истинно.
ответ: 134.