Около единичной окружности рисуем равнобочную трапецию. Обозначим трапецию ABCD, Нижнюю левую вершину буквой A. Проведем среднюю линию трапеции и обозначим MN, M лежит на стороне AB. Центр единичной окружности обозначим O . AB=a, AD=2a, радиус окружности равен 1. Средняя линия MN=(BC+AD)/2=(a+2a)/2=3a/2=1,5a. Надо найти величину a. Известно, r=1. Соединим центр окружности O с точкой касания окружности на стороне AB, Точку касания обозначим P. Отрезок OP- радиус окружности и он перпендикулярен стороне AB. Продлим стороны AB, CD до пересечения. Точку пересечения назовем буквой K. Треугольник AKD-равнобедренный. BC-средняя линия треугольника, так как AD=2BC,BC//AD, как основания трапеции.. Из вершины K треугольника AKD опустим высоту KL, L- точка пересечения с основанием AD, T- точка пересечения с основанием BC. Рассмотрим два треугольника: AKL и OPK. Эти треугольники- подобные. Стороны взаимно перпендикулярны и общий угол. KL перпендикулярна AD, OP перпендикулярна AB, угол K- общий. Запишем пропорцию: AL/OP=KL/PK, AL=a, OP=1, KL= 4 (BC-средняя линия треугольника, LT- высота трапеции, LT=2, точка T лежит на средней линии треугольника, значит высота KL=4), вычислим PK. Рассмотрим треугольник OPK. OP=1 , OK=3. PK²= OK²-OP², PK²= 3²-1²=9-1=8, PK=√8=2√2. Подставим все величины в пропорцию. a/1=4/2√2, a= 1·4/2√2, a= 2/√2=2·√2/√2·√2=√2, a =√2, MN= 1,5a=1,5·√2= 3√2/2. MN=3√2/2.
Вариант решения. Около окружности единичного радиуса описана равнобочная трапеция, у которой одно основание вдвое больше другого. Найти среднюю линию трапеции. --------- Четырехугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда равны сумы его противололожных сторон. В трапеции АВСD АВ+СД=ВС+АД. АВ=СД. ВС+АД=2 АВ. Опустим из В высоту ВН. Высота трапеции ВН равна диаметру вписанной окружности и равна 2, так как. радиус окружности равен единице. Пусть ВС=2а. Тогда АД=4а. 2АВ=ВС+АД=6а АВ=3а АН=а. ВН=2 По т. Пифагора ВН²=АВ²-АН² 4=9а²-а² 4=8а² а²=2/4 а=(√2):2 Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: 6а:2=3*(√2):2
Надо найти величину a.
Известно, r=1. Соединим центр окружности O с точкой касания окружности на стороне AB, Точку касания обозначим P. Отрезок OP- радиус окружности и он перпендикулярен стороне AB. Продлим стороны AB, CD до пересечения. Точку пересечения назовем буквой K. Треугольник AKD-равнобедренный. BC-средняя линия треугольника, так как AD=2BC,BC//AD, как основания трапеции.. Из вершины K треугольника AKD опустим высоту KL, L- точка пересечения с основанием AD, T- точка пересечения с основанием BC. Рассмотрим два треугольника: AKL и OPK. Эти треугольники- подобные. Стороны взаимно перпендикулярны и общий угол. KL перпендикулярна AD, OP перпендикулярна AB, угол K- общий. Запишем пропорцию: AL/OP=KL/PK, AL=a, OP=1, KL= 4 (BC-средняя линия треугольника, LT- высота трапеции, LT=2, точка T лежит на средней линии треугольника, значит высота KL=4), вычислим PK. Рассмотрим треугольник OPK. OP=1 , OK=3.
PK²= OK²-OP², PK²= 3²-1²=9-1=8, PK=√8=2√2.
Подставим все величины в пропорцию.
a/1=4/2√2, a= 1·4/2√2, a= 2/√2=2·√2/√2·√2=√2, a =√2,
MN= 1,5a=1,5·√2= 3√2/2.
MN=3√2/2.
Около окружности единичного радиуса описана равнобочная трапеция,
у которой одно основание вдвое больше другого. Найти среднюю линию трапеции.
---------
Четырехугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда равны сумы его противололожных сторон.
В трапеции АВСD
АВ+СД=ВС+АД.
АВ=СД.
ВС+АД=2 АВ.
Опустим из В высоту ВН.
Высота трапеции ВН равна диаметру вписанной окружности и равна 2,
так как. радиус окружности равен единице.
Пусть ВС=2а. Тогда АД=4а.
2АВ=ВС+АД=6а
АВ=3а
АН=а.
ВН=2
По т. Пифагора
ВН²=АВ²-АН²
4=9а²-а²
4=8а²
а²=2/4
а=(√2):2
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
6а:2=3*(√2):2