Около квадрата описана окружность и в квадрат вписана окружность. Разность площадей кругов, ограниченных этими окружностями, составляет см2. Найдите сторону квадрата

Даны координаты вершин треугольника АВС: A(4,-4), В (6;2), С(-1;8).

а) Длина стороны АВ = √((6-4)² + (2-(-4))²) = √(4 + 36) = √40.

Вектор АВ = (2; 6).

Уравнение стороны АВ.

АВ: (х - 4)/2 = (у +4)/6    это каноническое уравнение,

       6х - 24 = 2у + 8

       3х - у - 16 = 0     уравнение общего вида,

        у = 3х - 16   уравнение с угловым коэффициентом, к = 3.

б) Уравнение высоты СН;

к(СН) = -1/к(АВ) = -1/3.

у(СН) = (-1/3)х + в. Для определения "в" подставим координаты точки С, принадлежащей этой прямой.

8 = (-1/3)*(-1) + в,   в = 23/3, отсюда уравнение СН: у = (-1/3)х + (23/3).

Или в общем виде х + 3у - 23 = 0.

в) Уравнение медианы АМ.

Находим координаты точки М как середину стороны ВС .

М((6+(-1))/2; (2+8)/2) = (2,5; 5).

Вектор АМ: (2,5-4; 5-(-4) = (-1,5; 9).

Уравнение АМ: (х - 4) / (-1,5) = (у + 4) / 9

Знаменатели умножим на 2 и получим с целыми коэффициентами:

(х - 4) / (-3) = (у + 4) / 18

18х - 72 = -3у - 12

18х + 3у - 60 = 0 или, сократив на 3, АМ: 6х + у - 20 = 0.

у = -6х +20.

г) точку пересечения медианы АМ и высоты СH.

Составляем систему уравнений.

АМ: 6х + у - 20 = 0. |x(-3) = -18x - 3y + 60 = 0.

СН:   х + 3у - 23 = 0.              х + 3у - 23 = 0.  

                                            -17x       + 37  = 0    

x  = 37/17 ≈ 2,17647.

y = 20 - 6x = 20 - (6*37/17) = 118 / 17 ≈ 6,94118.

д) уравнение прямой, проходящей через точку C параллельно стороне AB.

С (-1; 8), А(4;-4) B(6;2). Прямую обозначим СК. Угловой коэффициент к(СК) = к(АВ).

СК: у = 3х + в. Подставим координаты точки С.

8 = 3*(-1) + в,  в = 8 + 3 = 11.  

СК: у = 3х + 11.

e) Расстояние от точки С до прямой АВ. Это модуль высоты СН.

Находим координаты точки Н как точки пересечения СН и АВ.

СН:   х + 3у - 23 = 0.              х + 3у - 23 = 0.

АВ: 3х - у - 16 = 0.   |x3    =   9х - 3у - 48 = 0

                                              10x        - 71 = 0.

х(Н) = 71/10 = 7,1.

у(Н) = 3x - 16 = 3*7,1 - 16 =5,3.

Вектор СН = (7,1 - (-1); 5,3 - 8) = (8,1; -2,7).

Модуль СН = √((8,1)² + (-2,7²) = √72,9  ≈ 8,53815.

Построим сумму векторов а и b и их разность.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129

Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301