Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ . Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказательство: Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) . Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках: АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁. Сравним полученную пропорцию с данной в условии: АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ Значит, АВ₂ = АВ. Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию). Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказано.
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.
1) угол ВСА = половине дуги АВ (т.к. он вписанный)
дуга АВ = 60 градусов
угол АВД = половине дуги АД (т.к. вписанный)
дуга АД = 140 градусов
угол ВДС = половине дуги ВС (т.к. вписанный)
дуга ВС = 40 градусов
2) дуга ДС = 360 градусов - дуга ВС - дуга АД - дуга АВ = 360 градусов - 40 градусов - 140 градусов - 60 градусов = 120 градусов
3) угол В = половине дуги АДС (т.к. вписанный)
дуга АДС = дуга АД + дуга ДС = 140 градусов + 120 градусов = 260 градусов
угол В = 260 градусов : 2 = 130 градусов
4) угол С = половине дуги ВАД (т.к. вписанный)
дуга ВАД = дуга АВ + дуга АД = 60 градусов + 140 градусов = 200 градусов
угол С = 200 градусов : 2 = 100 градусов
5) угол А = половине дуги ВСД (т.к. вписанный)
дуга ВСД = дуга ВС + дуга СД = 40 градусов + 120 градусов = 160 градусов
угол А = 160 градусов : 2 = 80 градусов
6) угол Д = половине дуги АВС (т.к. вписанный)
дуга АВС = дуга АВ + дуга ВС = 60 градусов + 40 градусов = 100 градусов
угол Д = 100 градусов : 2 = 50 градусов
ответ: угол А = 80 градусов, угол В = 130 градусов, угол С = 100 градусов, угол Д = 50 градусов