сонякласс17171717

01.04.2023 08:38 •  Геометрия

Один ученик захотел повысить свою итоговую отметку по геометрии.

Для этого учитель предложил ему найти различные решения следующей задачи:

Доказать, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Сделав рисунок (рис. 1) и составив требуемое равенство, ученик начал рассуждать так: чтобы доказать это равенство, нужно выделить теоремы, в формулировках которых участвуют частное или произведение отрезков.

Взяв несколько листочков для черновика, ученик последовательно написал на них: «Теорема о пропорциональных отрезках», «Подобие» — и начал заполнять каждый из листочков.

С первым случаем он справился быстро. Посмотрите на рисунок 1 и предложите построения, которые позволят получить конструкцию из теоремы о пропорциональных отрезках. Какие случаи здесь возможны?

Записав полученное обоснование, ученик приступил к поиску доказательства с использованием подобия. «Если на рисунке нет подобных треугольников, — подумал он, — то нужно их построить».

Самым в этом случае является построение треугольников с двумя равными углами, а равенство углов возникает при параллельных прямых и секущей. Значит, нужно провести прямую, параллельную, например, BD, через точку K до пересечения с продолжением DM (рис. 2).

Тогда треугольники BDM и MKC будут подобны (почему?), а дальше всё получится автоматически.

Запишите для каждого случая те рассуждения, которые провёл ученик. Сформулируйте утверждения, которые он использовал в доказательстве поиска решения задачи, которым воспользовался ученик, часто называют развёртыванием требования задачи. Он начинается со слов: «Чтобы доказать (или вычислить) требуемое в задаче, воспользуемся следующими утверждениями (или формулами). Для их применения надо установить (вычислить)…». Так продолжают до тех пор, пока не придут к данным в условии. Ещё раз эту цепочку в рассуждении ученика.